导数入门练习1
作者：互联网
导数入门练习1
希望自己早日摸着门道。
还要熟练掌握指对数运算。
经典放缩
\(\ln x\leq x-1\)
\(e^x\geq x+1\)
比较\(\frac{\ln 2^2}{2^2}+\frac{\ln 3^2}{3^2}+...+\frac{\ln n^2}{n^2}\)和\(\frac{(n-1)(2n+1)}{2(n+1)}\)大小
solution：
\(\frac{\ln n^2}{n^2}\leq1-\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n(n+1)}\)
然后求和易得\((n-1)-\frac{n-1}{2(n+1)}=\frac{(2n+1)(n-1)}{2(n+1)}\)
然后就出来了。
证明：\((\frac{1}{n})^n+(\frac{2}{n})^n+...+(\frac{n}{n})^n<\frac{e}{e-1}\)
solution：
\((\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1-n}{n})^n\leq(e^{\frac{1-n}{n}})^n\) 每一个的取等条件不同
然后相加得到\(<\frac{e^1}{e^n}+\frac{e^2}{e^n}+...=\frac{e}{e-1}\cdot\frac{e^n-1}{e^n}\)
那么就显然了。
凹凸反转
加强不等式？
证明：\(e^x\ln x+\frac{2e^{x-1}}{x}>1\)
solution：
经典了。
指对分家，易得\(\ln x+\frac{2}{ex}>\frac{1}{e^x}\)
稍作变换，易得\(x\ln x>\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}\)
然后就容易多了。
放缩？我失败了。
标签：frac,入门,导数,leq,ln,练习,易得,solution,放缩 来源： https://www.cnblogs.com/shijiazhuang-li/p/16079962.html