生成函数公式

生成函数讲解

发现原来学的啥也不是,今天花时间补一补式子,毕竟没时间重看一遍了

生成函数基本形式$\sum_{i}f[i]x^i$

常见式子

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3...$

$\frac{1}{1-ax}=1+ax+a^2x^2...$

$\frac{1}{1-x^k}=\sum_{i=0}^{n}x^{ki}$

$\frac{1}{(1-x)^k}=\sum_{i=0}(^{i+k-1}_{k-1})x^i$

这就是$i$个盒子放$k$个球的方案数

指数型生成函数

$\sum_{i=0}\frac{x^i}{i!}=e^x$用来解决多重排列问题

$1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...=e^{-x}$

只取偶数项的生成函数$\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

只取奇数项的生成函数$\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

设$A=a_1,a_2,a_3...a_n$是$n$元集

从中可重复的选出$r$个数字做排列

那么把指数型生成函数乘$n$次选就好了

其实每个东西自己的函数就是$\Pi_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m (\frac{x^j}{j!})$

其实我们的系数还是$1,1,1,1,1$

然后我们考虑乘起来之后,我们对于要把所有的方案都去重就是这个式子了

 

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来源： https://www.cnblogs.com/Eternal-Battle/p/16033115.html