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F检验--两个正态总体方差检验

作者:互联网

方差比的区间估计

假设:样本 X 1 , . . . , X n 1 X_1,...,X_{n_1} X1​,...,Xn1​​来自总体 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2) X∼N(μ1​,σ12​),样本 Y 1 , . . . , Y n 2 Y_1,...,Y_{n_2} Y1​,...,Yn2​​来自总体 Y ∼ N ( μ 1 , σ 2 2 ) Y\sim N(\mu_1,\sigma_2^2) Y∼N(μ1​,σ22​)。样本均值与方差分别标记为,
X ˉ = 1 n 1 ∑ i = 1 n 1 X i , Y ˉ = 1 n 2 ∑ i = 1 n 2 Y i \bar{X}=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}X_i,\qquad \bar{Y}=\frac{1}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2}Y_i Xˉ=n1​1​i=1∑n1​​Xi​,Yˉ=n2​1​i=1∑n2​​Yi​

S 1 2 = 1 n 1 − 1 ∑ i = 1 n 1 ( X i − X ˉ ) 2 ; S 2 2 = 1 n 2 − 1 ∑ i = 1 n 2 ( Y i − Y ˉ ) 2 S_1^2=\frac{1}{n_1-1}\sum_{i=1}^{n_1}\left( X_i-\bar{X} \right)^2;\qquad S_2^2=\frac{1}{n_2-1}\sum_{i=1}^{n_2}\left( Y_i-\bar{Y} \right)^2 S12​=n1​−11​i=1∑n1​​(Xi​−Xˉ)2;S22​=n2​−11​i=1∑n2​​(Yi​−Yˉ)2

当两样本独立时,
S 1 2 / σ 1 2 S 2 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 2 ) \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-2) S22​/σ22​S12​/σ12​​∼F(n1​−1,n2​−2)
则 σ 1 2 / σ 2 2 \sigma_1^2/\sigma_2^2 σ12​/σ22​的置信水平 1 − a 1-a 1−a的置信区间为,
[ S 1 2 / S 2 2 F a / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) , S 1 2 / S 2 2 F 1 − a / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ] \left[ \frac{S_1^2/S_2^2}{F_{a/2}(n_1-1,n_2-1)},\quad\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{1-a/2}(n_1-1,n_2-1)} \right] [Fa/2​(n1​−1,n2​−1)S12​/S22​​,F1−a/2​(n1​−1,n2​−1)S12​/S22​​]

方差比假设检验

假设零假设与备择假设为,
H 0 : σ 1 2 / σ 2 2 = 1 , H 1 : σ 1 2 / σ 2 2 ≠ 1 H_0:\sigma_1^2/\sigma_2^2=1,\quad H_1: \sigma_1^2/\sigma_2^2\neq1 H0​:σ12​/σ22​=1,H1​:σ12​/σ22​​=1
当零假设为真时,即 σ 1 = σ 2 \sigma_1=\sigma_2 σ1​=σ2​,有
S 1 2 / σ 1 2 S 2 2 / σ 2 2 = S 1 2 S 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1) S22​/σ22​S12​/σ12​​=S22​S12​​∼F(n1​−1,n2​−1)
记统计量 F = S 1 2 S 2 2 F=\frac{S_1^2}{S_2^2} F=S22​S12​​,则有
{ F ≥ F a / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) , 拒 绝 原 假 设 H 0 ; F ≤ F 1 − a / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) , 拒 绝 原 假 设 H 0 . \left\{\begin{array}{ll} F\geq F_{a/2}(n_1-1,n_2-1),& 拒绝原假设H_0;\\ F\leq F_{1-a/2}(n_1-1,n_2-1),& 拒绝原假设H_0. \end{array} \right. {F≥Fa/2​(n1​−1,n2​−1),F≤F1−a/2​(n1​−1,n2​−1),​拒绝原假设H0​;拒绝原假设H0​.​
拒绝域为,
( 0 , F 1 − a / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ) , ( F a / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) , + ∞ ) (0,F_{1-a/2}(n_1-1,n_2-1)),\quad (F_{a/2}(n_1-1,n_2-1),+\infty) (0,F1−a/2​(n1​−1,n2​−1)),(Fa/2​(n1​−1,n2​−1),+∞)

该检验是通过 F F F统计量的计算来实现的,也称之为 F F F检验。

标签:frac,--,S12,正态,检验,S22,n1,n2,sigma
来源: https://blog.csdn.net/lqj_614_19/article/details/123589943