博苏克-乌拉姆定理与项链珠宝分配问题
作者：互联网
项链珠宝分配问题
想象一个这样的情景：你和你的1个同伙偷了一串长度为n的项链，上面有m种颜色的珠子，我们假设项链为链状的，并且每一颗珠子都是随机分布的。现在我想知道，对于给定的n，m你在最坏情况下最少需要切多少刀才能使得你们各自获得的部分项链中每个人得到的每种宝石的数量刚好相同？我们假设珠子的数目一定是偶数。
例如，现在有下面这一串项链
将其切四刀后
上面的一段分给甲，下面的一段分给乙，可以看到甲乙分到的宝石对应种类的数量各是一样的，比如，甲分到四个蓝宝石，乙也分到四个蓝宝石。
在回答这个问题之前，先了解一下博苏克-乌拉姆定理。
博苏克-乌拉姆定理
博苏克-乌拉姆定理是关于有限维空间中的连续奇映射的著名定理。
设X和Y是有限维赋范线性空间，且dim Y<dim X，S为X中的单位球面，f:S→Y为连续奇映射（f(-x)=-f(x),∀x∈S），则存在x∈S使f(x)=0。 [3]
博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点。
例如空间中有一个球面
将其以某种规则映射到平面上（并不一定是垂直映射，可以是一种复杂的扭曲形式）
而你总能在球面上找到两个完全处于两极的点
经过映射后重合为一个点
该定理是拓扑学中的重要定理
如果将地球看作一个理想的球面，则根据该定理，地球上必有两个相对两极位置的点，其气温与压强完全相同。
接下来，我们要把以上问题与理论联系起来。
我们首先要做的，是将宝石分配化为连续分布。
例如将两种宝石的情况看作这样：
令其总长度为1，接着切两刀：
分成\(a,b,c\)三段，\(a+b+c=1\)。
现在回忆一下标准球体的方程：
\[x^2+y^2+z^2=1 \]于是我们可以将\(a,b,c\)与\(x^2,y^2,z^2\)对应起来。
现在我们做一个约定，\(x,y,z\)中，正的解表示分配给小偷一号，负的解表示分配给小偷二号。
比如\(x=\sqrt a\)就是a段分配给小偷一号，\(x=-\sqrt b\)就是b段分配给小偷二号，
可以表示成这样：
我们发现，\(x,y,z\)的取值，可以表示为一组分配方案，这就将一个离散的分配问题与空间的几何连续问题相关联了起来！
我们现在设定一个函数\(f(x,y,z)\)，这个函数的输出结果为该小偷分得的不同种类宝石的数量。
可以知道，\(f(x,y,z)\)与\(f(-x,-y,-z)\)实际上表示的是同一种分配方式。
并且，\(f(x,y,z)\)的输出结果，我们在两种宝石的情况下设其为\(g(m,n)\)，其意义就是三维到二维坐标的映射!
于是，根据博苏克-乌拉姆定理，必有一对球面上的对蹠点，经映射后两点重合。
也就是必有这么一组分配方案，能满足两个小偷各自得到的宝石各种类的数量，即使对称交换分配后，仍然相等，即公平均分。
结论
对于m种宝石的项链，至少可以用m刀平均分配，并且可以用m+1维的球面（超几何球面）结合苏克-乌拉姆定理证明。
ps.据说珠宝分配问题可类推到计算机中内存分配的优化，可能后续会考虑补上相关内容。
参考资料：
标签：苏克,映射,定理,项链,分配,拉姆 来源： https://www.cnblogs.com/TappaT/p/15965985.html