一.图的基本概念

定义1：

图分为有向图和无向图

定义2：

在图G=<V,E>中，与结点v(vV)关联的边数，称作是该节点的度数，记作deg(v)。   注：约定每个环在其对应结点上度数增加2

定理1：

握手定理：每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍。   重点！！！！！！

定理2：

在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。

定理3：

在任何有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。

定理4：

n个结点的无向完全图Kn的边数为。   重点！！！！！！

二.路与回路

该部分概念较多，参考课本就行。下面仅列出较为重要的。(这部分考的少)

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定义1:

V0和Vn分别称作路的起点和终点，边的数目n称作路的长度。当V0=Vn时，这条路称作回路。

定义2：

在无向图G中，结点u和v之间若存在一条路，则称结点u和结点v是连通的。

若图G只有一个连通分支，则称G是连通图。(显然在连通图中，任意两个结点之间必是连通的。)

定理1：

一个不连通图的连通度等于0，存在割点的连通图其连通度为1。

三.图的矩阵表示

 会出一道难度不大的大题

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该部分考试的重点在于例一题

求两个结点之间有几条长度为几的路或单个结点有几条长度为几的回路

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如图所示教材中对问题的描述：

图G用矩阵表示，每个矩阵的行分别表示V1,V2,V3,V4,V5 ；列也表示为V1,V2,V3,V4,V5。

这里代表A*A*A*...*A(x个A相乘)，不同于求传递闭包t(R)中的逻辑乘 ，这里的乘就是一般的数学乘

如果要找两个结点之间有y条长度为x的路，我们就找中对应两个结点的位置，该位置上若为y(y>0)，则这两个结点之间就有y条长度为x的路。若该位置上为0，则这两个结点没有长度为x的路。

如果要找一个结点有y条长度为x的回路，我们就找中对角线上该结点的位置，接下来的步骤与上面一致，只不过所找的是回路。

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四.欧拉图与汉密尔顿图 

 定义：

欧拉路：给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中每边一次且仅一次，该条路称为欧拉路。

欧拉回路：若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图。

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汉密尔顿路：给定图G，若存在一条路经过图中的每个结点恰好一次，这条路称作汉密尔顿路。

汉密尔顿回路:若存在一条回路，经过图中的每个结点恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。

具有汉密尔顿回路的图成为汉密尔顿图。

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定理：

欧拉图部分：

1.无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点。

2.无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有结点度数全为偶数。

注：这里我们如果要判断一个图是否为欧拉图，那么就判断图的所有结点度数是否全为偶数就行。

汉密尔顿图部分：

1.设G具有n个结点的简单图，如果G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路。

2.设G是具有n个结点的简单图，如果G中每一对结点度数之和大于等于n，则在G中存在一条汉密尔顿回路。(该条件为充分条件，只能通过每一对结点满足d( V1)+d(V2)n来判断是否为汉密尔顿图，如果一个图为汉密尔顿图，不一定满足该条件。)

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注：

该部分经常会出一个图，判断它有没有欧拉路或欧拉回路，是否为欧拉图，同理汉密尔顿图。

常用上面的定理来判断

作者仅作为期末考试复习用，有任何不足和问题还请评论区指正，谢谢

标签：度数,图论,连通,结点,考点,离散数学,汉密尔顿,回路,欧拉
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