【数学】计算几何前置知识

我发现我好菜啊，带点正经数学的东西就会寄...

1. 三角函数：

1.1 三角函数的定义：

首先是锐角三角函数：

定义：

• \(\sin \theta=\frac{a}{c}\)，即“对边比斜边”。

• \(\cos \theta=\frac{b}{c}\)，即“邻边比斜边”。

• \(\tan \theta=\frac{a}{b}\)，即“对边比邻边”。

我们可以把三角函数扩充到任意角：

我们把角放在单位圆（半径为 \(1\) 的圆）上。

然后角 \(\theta\) 的上面那条射线，和单位圆的交点，我们记作 \(A(x,y)\)，那么 \(\sin \theta=y,\cos \theta=x,\tan \theta=\frac{y}{x}\)。

1.2 常用的三角函数值：

不多说了，贴图：

1.3 三角函数的性质与运算：

1.3.1

根据三角函数的定义可知，\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)，另外，\(\sin -\theta=-\sin \theta,\cos -\theta=\cos \theta\)。

另外，根据勾股定理可得（看上面的图那个单位圆）：\(\sin^2 \theta+\cos^2\theta=1\)。

1.3.2 诱导公式

口诀：“奇变偶不变，符号看象限”（都被玩烂了...）

来解释一下含义，就是研究 \(\frac{k\pi}{2}+\theta\) 的三角函数和 \(\theta\) 的三角函数之间的关系。

• 奇变偶不变：当 \(k\) 是奇数，那么如果以前是 \(\sin \theta\)，就会等于 \(\cos \frac{k\pi}{2}+\theta\)，反之亦然。

• 符号看象限：我们默认 \(\theta\) 为第一象限角，然后看它转 \(\frac{k\pi}{2}\) 度后所在的那个象限。比如说如果是 \(\sin\)，然后 \(k=2\)，那么最后在第一象限，纵坐标是相反的，所以有 \(\sin \pi+\theta=-\sin \theta\)。

这两条结合在一起，前半部分决定 \(+\frac{k\pi}{2}\) 后是 \(\sin\) 还是 \(\cos\)，后半部分决定符号。

1.3.3 和差角公式：

我老是背了又忘...直接放公式吧：

• \(\sin (\alpha + \beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta\)。

• \(\cos (\alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\)。

• \(\tan (\alpha + \beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}\)。

这三个只能记了，没有别的方法，刷熟练度。至于差角，把 \(-\beta\) 看作 \(+(-\beta)\) 然后根据 1.3.1 去套和角公式就好（不用记符号的变化了嘿嘿）。

有了这个你可以做一道水题：区间加区间sin和

1.4 三角形上的三角函数：

对于 \(\triangle ABC\)，我们记角 \(A,B,C\) 的对边分别为 \(a,b,c\)。

• \(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\cdot \sin C\)。

• 正弦定理： \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)，其中 \(R\) 是 \(\triangle ABC\) 的外接圆半径。

• 余弦定理： \(a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A\)（变形：\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}\)）。

2. 向量：

标签：cos,frac,alpha,前置,beta,数学,几何,theta,sin
来源： https://www.cnblogs.com/Cry-For-theMoon/p/15943308.html