数学知识 约数的和

约数之和

给定 n 个正整数 a_i，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 10⁹+7 取模。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 aⁱ。

输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 10⁹+7 取模。

数据范围
1≤ n ≤100,
1≤ aⁱ ≤2×10⁹
输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

252

约数和的定理：

n = p₁^a1+p₂^a2+p₃^a3+p₄^a4+…p_k^ak

而 p₁^a1 的约数有：p₁⁰，p₁¹，p₁²，p₁³…p₁^k 共（a₁+1）个；同理p₂^a2的约数个数有（a₂+1）个。
n的约数是在p₁^a1、p₂^a2、…、p_k^ak每一个的约数中分别挑一个相乘得来。所以共有（a₁+1）*（a₂+1）*（a₃+1）*…（a_k+1）种挑法。
所以约数的和为：
（p₁⁰+p₁¹+p₁²…p₁^a1）*（p₂⁰+p₂¹+p₂²+…p₂^a2）*…（p_k⁰+p_k¹+p_k²…p_k^ak）

eg:

2³ * 3² = 72
2³ 含有的约数为（2⁰，2¹，2²，2³）即（1，2，4，8）
3²含有的约数为（3⁰，3¹，3²）即（1，3，9）
而72的约数为：
（1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72）=（2⁰，2¹，2²，2³）*（3⁰，3¹，3²）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1e9+7;
typedef long long int LL;
int n;
LL res=1;
int main()
{
    cin>>n;
    unordered_map<int,int> p;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        for(int i=2;i<=x/i;i++)
        {
            while(x%i==0)
            {
                p[i]++;
                x/=i;
            }
        }
        if(x>1) p[x]++;
    }
    for(auto t:p)
    {
        LL i=t.first,k=t.second;
        LL m=1;
        while(k--)
        {
            m=(m*i+1)%M;
        }
        res=res*m%M;
    }
    cout<<res;
    return 0;
}

求（ i⁰ + i¹ + i²… + i^k ）

while (k -- )  m=(m*i+1) % mod;

m = m*i + 1
m = 1
m = i + 1
m = i² + i + 1
m = i³ + i² + i + 1
……
m = i^k + i^k-1 +…+ i + 1

标签：约数,p2a2,23,int,32,p1a1,数学知识
来源： https://blog.csdn.net/qq_45806470/article/details/123071651