二分图问题

一个图G=(V,E)中的V若可以分为两个集合(V1,V2)使得在V1内部和V2内部任意两点不可达，则称这个图为二分图。下面出现的V1,V2即分别表示内部任意两点不可达的两个集合。
开门见山，直接开始介绍二分图中几个关系：
最大匹配=最小点覆盖=|V|-最大独立集=|V|-最小边覆盖
有不详细的地方请参看其余资料，这里只是提供一个简要纲领性质的讲解，更适合用于复习而不是用于学习新算法。

---

一、最大匹配

1.定义：当一些边不存在公共点，则将这些边及其端点构成的子图M称为一个匹配，其中的点、边称为匹配点、匹配边。边数最大的匹配即为最大匹配，下面求解的就是最大匹配中边集的大小
2.求解方法：
一个是匈牙利算法，其思想是在dfs的过程中不断寻找增广路直至不再存在增广路，代码简洁，可以在O(nm)的时间内求出最大匹配
我们给出增广路的含义：若一条路径满足该路径上的边以“非匹配边-匹配边-非匹配边……匹配边-非匹配边”（下面称 “交替排列” ）的方式排列，则称该路径为增广路。显然，在这条路径上非匹配边始终比匹配边的数量多1，此时将该路径上非匹配边改为匹配边，将原匹配边改为非匹配边，即可扩大匹配边集的大小
另一个是网络流算法，可以更快地求出最大匹配：建立源点S和汇点T,由S向V1中所有点连接容量为1的边，由V2向T连接容量为1的边，将原图中所有边转化成容量为1的无向边，然后使用Dinic求出最大流即可

接下来我们将看到，掌握了求解最大匹配的方式，即可求解其余三个量：最小点覆盖，最大独立集，最小边覆盖

---

二、独立集，点覆盖、边覆盖、路径覆盖

1.定义：
独立集：若点集D∈V且D中两两不可达，则称D为独立集
点覆盖：用点覆盖图，即：若D∈V且与这些点相连的边构成的边集=E，则称D为点覆盖
边覆盖：用边覆盖图，即：若B∈E且B中每条边对应的端点构成的集合=V,则称B为边覆盖
2.最小点覆盖=最大匹配数
首先，求出最大匹配
我们枚举V2中所有匹配点中尚未被遍历的点，从每个点按照交替排列的方式寻找路径，我们发现，如果将这段路径中属于V1的匹配点加入点覆盖集合，那么该路径可以被全部覆盖。
不断重复上述过程，发现最终所有非匹配点都被覆盖，最后只剩下V2中的匹配点。此时这些点加入点覆盖集合中，就得到了最小点覆盖集合。发现点覆盖集合中的每一个点都恰好属于一个匹配边，于是得出结论：最大匹配=最小点覆盖
3.最大独立集+最小点覆盖=|V|
最大独立集要求每一条边至少有一个点不被选中，最小点覆盖要求每一条边至少一个点被选中，这样每一个最小点覆盖集合与一个最大独立集构成一一对应的关系，可以得出上述结论
也可以这样理解：将点覆盖集合中所有点及连接它们的边删除，最后剩下的点即为一个独立集，因为每一条边都至少有一个端点被删除。这样，我们只要以最小代价执行这种删除操作即可获得最大独立集，最小代价正对应最小点覆盖。
4.对于不存在孤立点的图，最大匹配数+最小边覆盖=|V|
起初将所有点打上标记，表示完成边覆盖至少需要|V|条边。然后将每对匹配点的两个标记转移到连接这两点的匹配边上，再将非匹配点上的标记转移到任意一条连接他们的边上。发现所有有标记的边组成的集合就是一个边覆盖集合，每出现一条匹配边就可以令边覆盖集合的大小-1，于是最小边覆盖+最大独立集=|V|
5.DAG最小路径覆盖
DAG最小路径覆盖，即用尽可能少的路径经过图上每个点，并要求最小化路径条数。特殊地，一个点也算一条路径。
将每一个点拆成两个点（x,y),当出现形如A–>B的边时，将其装化成Ax–>By，这样我们就得到一张二分图，最小路径覆盖就是原图节点数-新图最大匹配数

---

这就是二分图问题的概述，实际做题时会发现，这类问题不难在算法而难在将原问题转化成二分图问题。还是要多做题啊~

end

标签：二分,匹配,最大,覆盖,路径,最小,问题,边覆盖
来源： https://blog.csdn.net/zixiangzhan/article/details/123043059