费马小定理

一、概念

费马小定理：a^(p-1)≡1(modp) （a,p)=1//a与p互素

                    a*(p-1)≡1(modp)相当于 a^(p-1)modp==1modp

完全剩余系：将对一个数m取余，余数相同的一类数称呼同余类（比如1mod3=1,4mod3=1。1,4为模m的同余类）。

                      那么一个数m 便有0~m-1（m个同余类），各取一个便是完全剩余系。

 

二、引理

引理1：a*c≡b*c(mod p)       a≡b(mod p)    (c,p)=1

 

      (a*c-b*c) mod p=0

     (a-b)*c mod p=0  //因为c,p互质，所以a-b=kp

                所以 （a-b）modp=0;

      a≡b(mod p)

 引理2：取p的完全剩余系 a1,a2,a3....ap,将他们全部乘以m（m与p互质）,a1*m,a2*m...ap*m依旧是p的完全剩余系；

            要证明定理2可采取反证法，即证明a1*m,a2*m...ap*m 有两个相同即不是p的完全剩余系

                                    ai*m≡aj*m(modp)

                              ai≡aj(mod p)  （定理1）

             已知ai,aj不是同余类，矛盾，所以反证了定理2

 

三、证明

           取p的完全剩余系 1,2....p-1,将他们全部乘以a（a与p互质）,a,2*a...(p-1)*a依旧是p的完全剩余系；（引理2）

           所以可得         1*2....p-1≡ a,2*a...(p-1)*a(mod)  

                         1*2....p-1≡  1*2....p-1*a^(p-1)(mod)               

 

                               (p-1)!≡ (p-1)!*a^(p-1)(mod)             

                                      1≡ a^(p-1)(mod)        

                              a^(p-1)≡1(modp) （a,p)=1  //证毕

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