为什么 ⌊lgN⌋=(N 的二进制表示的位数)-1

《算法（第四版）》1.4.3.6 节下的“表 1.4.5 算法分析中的常见函数”中说：\(\lfloor \lg N\rfloor=(N\ 的二进制表示的位数)-1\)，其中 N 为正整数。

为什么？

设 \(\lfloor \lg N \rfloor=k\)。

\[\begin{aligned} &\lfloor \lg N \rfloor=k\\ &\Rightarrow k\leq\lg N< k+1\\ &\Leftrightarrow 2^k\leq N < 2^{k+1}\\ &\Leftrightarrow \underbrace{(100..00)_2}_{k+1\ bit}\leq N < \underbrace{(111..11)_2}_{k+1\ bit}\\ \end{aligned} \]

故 N 的二进制位数为 k+1，\(\lfloor \lg N\rfloor=(N\ 的二进制表示的位数)-1\)。

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