【数论】——同余

定义

• 若存在整数 a.b，除以 m 的余数相同，则称 a，b mod m 同余，记为：
  a ≡ b ( m o d   m ) a\equiv b\qquad (mod\ m) a≡b(mod m)

同余系 & 剩余系

1. 同余系：对区间 [1,m-1], 集合 {a+km} 的所有数 mod m，余数都是 a，称集合为一个 mod m 的同余类，记做： a ‾ \overline a a。
2. 剩余系：mod m 的同余类有 m 个：
   0 ‾ , 1 ‾ . . . m − 1 ‾ \overline 0,\overline 1...\overline {m-1} 0,1...m−1​
   构成 m 的完全剩余系；
   [1,m] 中与 m 互质的数代表的同余类有： ϕ ( m ) \phi(m) ϕ(m) 个，构成 m 的简化剩余系。

• 简化剩余系关于 mod m 乘法封闭：
  任取其中 a，b 与 m 互质，则 a*b 也与 m 互质（反证法证明）。

扩展欧几里得

• 对于任意整数 a，b，存在一对整数 x，y，有：
  a ∗ x + b ∗ y = gcd ⁡ ( a , b ) a*x+b*y = \gcd(a,b) a∗x+b∗y=gcd(a,b)

证明

1. 若 b = 0，则当：
   x = 1 , y = 0 x = 1,y = 0 x=1,y=0
   公式成立。
2. 若 b>0, 根据欧几里得算法：
   gcd ⁡ ( a , b ) = gcd ⁡ ( b , a   m o d   b ) \gcd(a,b) = \gcd(b,a\ mod\ b) gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
   此时不妨假设存在： x 0 , y 0 x_0,y_0 x0​,y0​ 使得
   b ∗ x 0 + ( a   m o d   b ) ∗ y 0 = gcd ⁡ ( b , a   m o d   b ) b*{x_0}+(a\ mod\ b)*{y_0} = \gcd(b,a\ mod\ b) b∗x0​+(a mod b)∗y0​=gcd(b,a mod b)
   对 ( a   m o d   b ) (a\ mod\ b) (a mod b) 展开有：
   a   m o d   b = a − b ∗ [ a b ] a\ mod\ b = a-b*[\frac{a}{b}] a mod b=a−b∗[ba​]
   代入有：
   b ∗ x 0 + ( a − b ∗ [ a b ] ) ∗ y 0 = gcd ⁡ ( b , a   m o d   b ) b*x_0+(a-b*[\frac{a}{b}])*y_0 = \gcd(b,a\ mod\ b) b∗x0​+(a−b∗[ba​])∗y0​=gcd(b,a mod b)
   分理出 x，y：
   a ∗ y 0 + b ∗ ( x 0 − [ a b ] ∗ y 0 ) = gcd ⁡ ( b , a   m o d   b ) = gcd ⁡ ( a , b ) a*y_0 + b*(x_0-[\frac{a}{b}]*y_0)= \gcd(b,a\ mod\ b) = \gcd(a,b) a∗y0​+b∗(x0​−[ba​]∗y0​)=gcd(b,a mod b)=gcd(a,b)
   令， x ′ = y 0 , y ′ = x 0 − [ a b ] ∗ y 0 x'= y_0,y' = x_0-[\frac{a}{b}]*y_0 x′=y0​,y′=x0​−[ba​]∗y0​, 代入上式：
   a ∗ x ′ + b ∗ y ′ = gcd ⁡ ( a , b ) a*x'+b*y' = \gcd (a,b) a∗x′+b∗y′=gcd(a,b)
   通过以上方式，可以运用数学归纳法，得证扩展欧几里得。

代码实现

• 在欧几里得的基础上，传入 x，y，运用：
  x ′ = y , y ′ = x − [ a b ] ∗ y x'= y,y' = x-[\frac{a}{b}]*y x′=y,y′=x−[ba​]∗y
  即可递推得的到系数 x，y。
• 代码

int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y)// 函数返回 a，最大公约数
{if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = gcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;// 临时记录 x
   // 利用：x'= y,y' = x-[a/b]*y
    x = y;
    y = t - y * (a / b);
    return d;
}

线性同余方程

定义

• 对于整数 a，b，m，满足：
  a ∗ x ≡ b ( m o d   m ) a*x \equiv b\qquad (mod\ m) a∗x≡b(mod m)
  求整数 x（有解或无解）。由于未知数最高次为 1，因此又被称为一次同余方程。

求解

• 由定义式易知： a ∗ x − b a*x-b a∗x−b 是 m 的倍数，不妨设商为 − y -y −y
  对定义式去模运算：
  a ∗ x + m ∗ y = b a*x+m*y = b a∗x+m∗y=b
  则原方程的解等价于求满足上式的 x 的值。
• 方程有解等价于：
  b ∣ g c d ( a , m ) b\mid gcd(a,m) b∣gcd(a,m)
• 因此可以借助扩展欧几里得进行求解

代码

int solve(int a, int m, int& x, int& y)
{if (!m) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = solve(m, a % m, x, y);
    int t = x;
    y = x;
    x = t - (a / m) * y;
    return d;
}
bool check(int m,int d)
{return m % d == 0;}
void answer(int a,int m)
{
    int x, y;
    int d = solve(a, m, x, y);
    int answer;
    if (check(m, d))
        answer = (x % m + m) % m;
    else
        puts("impossible");
}

线性同余方程组

定义

• 对于 n 对模数与被模数 a i , m i a_i,m_i ai​,mi​, 有：
  x ≡ a 1 ( m o d   m 1 ) x \equiv a_1\qquad (mod\ m_1) x≡a1​(mod m1​)
  x ≡ a 2 ( m o d   m 2 ) x \equiv a_2\qquad (mod\ m_2) x≡a2​(mod m2​)
  . . . ... ...
  x ≡ a n ( m o d   m n ) x \equiv a_n\qquad (mod\ m_n) x≡an​(mod mn​)

求解

1. 中国剩余定理
   设 m , M i m,M_i m,Mi​ 为 m = ∏ i = 1 n m i m = \prod_{i=1}^{n}{m_{i}} m=i=1∏n​mi​
   M i = m m i M_i = \frac{m}{m_i} Mi​=mi​m​
   若 m i m_i mi​ 之间两两互质，设 t i t_i ti​ 为：（ M i − 1 M_i^{-1} Mi−1​）
   M i ∗ t i ≡ 1 ( m o d   m i ) M_i*t_i \equiv 1\qquad(mod\ m_i) Mi​∗ti​≡1(mod mi​)
   解 x x x 为：
   x = ∑ i    =    1 n a i ⋅ M i ⋅ t i x = \sum_{i\; =\; 1}^{n}{a_{i}\cdot M_{i}\cdot t_{i}} x=i=1∑n​ai​⋅Mi​⋅ti​

• 证明——（来自 李煜东 《算法竞赛进阶指南》）
  

2. m 不满足互余下的通解

• 取出前两个式子：
  x ≡ a 1 ( m o d   m 1 ) x \equiv a_1\qquad (mod\ m_1) x≡a1​(mod m1​)
  x ≡ a 2 ( m o d   m 2 ) x \equiv a_2\qquad (mod\ m_2) x≡a2​(mod m2​)
  去模处理：
  x = k 1 ∗ a 1 + m 1 x = k_1*a_1 + m_1 x=k1​∗a1​+m1​
  x = k 2 ∗ a 2 + m 2 x = k_2*a_2 + m_2 x=k2​∗a2​+m2​
  联立并化简：
  k 1 ∗ a 1 − k 2 ∗ a 2 = m 2 − m 1 k_1*a_1-k_2*a_2 = m_2-m_1 k1​∗a1​−k2​∗a2​=m2​−m1​
  根据扩展欧几里得, 求解 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1​,k2​
  不定方程 x = k 1 ∗ a 1 + m 1 x = k_1*a_1 + m_1 x=k1​∗a1​+m1​ 的解为：
  x = ( k 1 + k a 1 g c d ( a 1 , a 2 ) ) ∗ a 1 + m 1 x = (k_1+k\frac{a_1}{gcd(a_1,a_2)})*a_1+m_1 x=(k1​+kgcd(a1​,a2​)a1​​)∗a1​+m1​
  化简：
  x = a 1 ∗ k 1 + m 1 + k ∗ l c m ( a 1 , a 2 ) x = a_1*k_1+m_1+k*lcm(a_1,a_2) x=a1​∗k1​+m1​+k∗lcm(a1​,a2​)
  令 m = a 1 ∗ k 1 + m 1 , a = l c m ( a 1 , a 2 ) m = a_1*k_1+m_1,a = lcm(a_1,a_2) m=a1​∗k1​+m1​,a=lcm(a1​,a2​)
  x = k ∗ a + m x =k*a+ m x=k∗a+m
  因此方程组中所有式子两两合并，n-1 次后最终可以化为一个形如 x = k ∗ a ′ + m ′ x =k*a'+m' x=k∗a′+m′ 的等式。
  最终求解：
  x   m o d   a ′ ≡ m ′ x\ mod\ a'\equiv m' x mod a′≡m′
  中 x 的解，等价于： m   m o d   a m\ mod \ a m mod a的最小正整数。
• 代码

typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a % b, x, y);
    LL t = x;
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return d;
}
LL mod(LL a, LL b)
{
    return ((a % b) + b) % b;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    LL a, m;
    bool flag = true;
    scanf("%lld%lld", &a, &m);//先读入第一个式子
    n--;
    //读入剩余的并合并
    while (n--) {
        LL a0, m0;
        scanf("%lld%lld", &a0, &m0);
        LL k1, k2;
        LL d = exgcd(a, -a0, k1, k2);
        if ((m0 - m) % d) {//如果同余方程无解
            flag = false;
            break;
        }
        k1 = mod(k1 * (m0 - m) / d, abs(a0 / d));//防止溢出
        m = a * k1 + m;//合并后的m = a*k1+m
        a = abs(a / d * a0);//合并后的a = lcm(a,a0）
    }
    if (flag)
        printf("%lld", mod(m, a));
    else
        puts("-1");
    return 0;
}

标签：gcd,数论,LL,a1,int,k1,同余,mod
来源： https://blog.csdn.net/GXT020507/article/details/122791946