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图形学中一些旋转矩阵推导

作者:互联网

一、2D中向量旋转公式推导

已知向量(x,y)旋转θ角之后得到向量(x',y')

如下图所示
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这时我可以看到的是信息是

旋转后的向量与之前的向量长度r它是不变的

第一个向量所具有的信息是
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旋转后的向量所具有的信息是
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根据三角函数公式
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将此关系式拆开就可以得到
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最后可以得到
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写成矩阵形式
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二、从局部空间变换到世界空间SRT矩阵中R的推导记忆

我这里是unity的左手坐标系,所以接下来我都用左手定则来阐述
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首先我们先看,绕z轴的3维坐标变换
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z坐标保持不变,旋转x、y坐标,这可不就是我们上面推导的二维坐标系的旋转公式吗

这样我们可以直接得到
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除了y轴旋转有点不同,x轴与z轴都是在相应位置的二维旋转变换

那么为什么y轴会不同

看旋转方向

绕z轴旋转,是从x轴开始,绕原点逆时针旋转(你也可以想成x叉乘y,正好等于z轴)

绕x轴旋转,是从y轴开始,也绕原点逆时针旋转(你也可以想成y叉乘z,正好等于x轴)

可是绕y轴旋转,是从x轴开始,绕原点逆时针旋转(x叉乘z,等于-y)

所以相当于把角度向反方向旋转,这就等于了绕y轴旋转,旋转矩阵不同的记忆方法

害,之前硬啃《Unity Shader入门精要》的时候没多想,直接硬记,果然这些东西还是自己有能力推一遍会更加深刻吧

三、绕任意轴旋转矩阵

在图形学中,我们经常会遇到绕轴旋转的问题,这里先记录下欧拉角公式里的绕任意轴旋转

下面是我学习笔记,思路可能结果和思路都有可能出错,不代表绝对,仅供参考。
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假设一个向量n(0,0,1),并将它看作旋转轴,再假设一点v(x,y,z),绕n向量(轴),旋转θ角,得到v’(x1,y1,z1).

首先我先找到它们共有的信息:

显然||v||模是等于||v’||模的.

根据向量加减,我们可以得到image
(向量v等于水平方向v//加竖直方向v⊥)
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由这张图我们可以想到,image,那么我们先求出向量image
image向量v投影到向量n的长度再乘于**单位向量n **得到的。
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非常好,我已经得到一个已知量了,只要再求个v'⊥就可以了,
我们不妨求个垂直于v//v'⊥的向量w
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根据image
这些都是我们已知的了,代入方程式1;
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自此我们得到了x基向量v'⊥
很好,再来求个y基向量也就是向量w,我们就可以知道旋转后的v'⊥
根据方程式2:
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同轴同向叉乘无意义,最后得
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完事了,最后将方程填完就可以得到v'⊥
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仅供参考

四、Unity中解决万向节锁

1、首先什么是万向节锁1、首先什么是万向节锁

按我的理解就是,正常情况直接使用transform.localEulerAngles是没问题的,但是根据Unity的zxy的旋转规则,当你是先绕x轴(pitch俯仰)旋转90度后,这时再去单独旋转y(Yaw偏航),和单独旋转z,效果都是绕z轴(Roll桶滚)旋转,这就不是我们要的结果了。

然后解决的办法就是用四元数(Quaternion)

2、什么是四元数

这个我推荐去b站搜四元数

3、结论

通过了解与实际操作后,将欧拉角带入unity四元数Quaternion.Euler()中即可。

Unity官方文档关于Quaternion的描述:
https://docs.unity3d.com/ScriptReference/Quaternion.html

本人之前在搞摄像机跟随旋转视角和人物转向的时候踩过一次坑,之后通过各种资源知道了用四元数,所以在这按自己的想法记录下,同时也推荐朋友们去了解,共同进步

标签:推导,Quaternion,矩阵,图形学,旋转,四元,Unity,向量
来源: https://www.cnblogs.com/Ariaaaaaa/p/15856018.html