[NOI2018] 归程，Kruskal 重构树

给出一张点数为 \(n\)，边数为 \(m\) 的无向连通图，每个边 \(e\) 的属性是一个二元组 \((l,a)\)。

接下来给出 \(q\) 次询问，每次给出一个出发点 \(v\) 以及约束 \(p\)，求出从 \(v\) 至 \(1\) 号节点的最小花费。

花费的计算是这样的：将 \(p(v,1)\) 分为两段 \(p(v,u)\)，\(p(u,1)\)。

\(p(v,u)\) 满足所有的经过边 \(e\in p(v,u)\) 都有 \(a_e > p\)，这段路径是免费的。

从第一次经过 \(a_e\leq p\) 的边开始，这一段路径为 \(p(u,1)\)，这段路径的花费是 \(\sum_{e\in p(u,1)}l_e\)。

假若询问离线，我们可以考虑将询问按照 \(p\) 从大到小排序，然后将图中的边按照 \(a\) 排序，开始是一个仅有点没有边的图，然后逐渐按顺序向其中加边，当当前询问的约束为 \(p\) 时，将所有 \(a>p\) 的边加入其中。

那么这个过程中整个图就会形成若干个连通块，假若当前起点 \(v\) 属于某个连通块 \(B\)，那么任何以 \(u\in B\) 为起点的答案都是一样的。因为任意边 \(e\in B\) 都有 \(a_e>p\)，是属于第一种路径，所以这部分路径是对答案没有贡献的。

于是我们考虑先预处理出所有点至 \(1\) 号节点的 \(l\) 值的最短路，这个可以直接以 \(1\) 号节点为起点跑一遍 Dijkstra（关于 SPFA，，，

然后关于连通块我们就可以直接用并查集维护，按照最短路的值合并。具体地说，就是以最短路值小的节点作为根，于是当我们处理询问时只需 find 一下根，再输出其最短路值即可。

离线的好处是，由于我们已经对询问排序，加入的边不会再被去掉，这样就可以直接用并查集维护了。时间复杂度 \(O( m\log n+q\log n)\)。

标签：连通,询问,短路,路径,节点,排序,NOI2018,Kruskal,归程
来源： https://www.cnblogs.com/yukari1735/p/15851621.html