首页 > 其他分享> > 【大学物理·早期量子论和量子力学基础】一维定态薛定谔方程的应用

【大学物理·早期量子论和量子力学基础】一维定态薛定谔方程的应用

2022-01-11 17:02:36 作者：互联网

一、一维无限深势阱

若粒子在保守力场的作用下被限制在一定范围内运动，例如，电子在金属中的运动。由于电子要逸出金属需克服正电荷的吸引，因此电子在金属外的电势能高于金属内的电势能，其一维的势能形状与陷阱相似，故称为势阱。

理想的势阱模型——无限深势阱

设一维无限深势阱的势能分布如下U(x)为

（阱内） $0,0<x<a$

(阱外） $\infty , x\leq 0,x\geq a$

在阱外，设波函数为 $\psi _{e}$ ，定态薛定谔方程为

$-\frac{h}{2m}\frac{\mathrm{d} ^{2}\psi _{e}}{\mathrm{d} x^{2}}+(E-U)\psi _{e}=0$

由于 $U\rightarrow \infty$ ，唯有 $\psi _{e}=0$ ,否则方程给不出任何有意义的解. $\psi _{e}=0$ 说明粒子不可能在这些区域，这是和经典概念相符的。

在阱内，设波函数为 $\psi _{i}$ ，定态薛定谔方程为

$-\frac{h}{2m}\frac{\mathrm{d} ^{2}\psi _{e}}{\mathrm{d} x^{2}}=E\psi _{i}$

令 $k^{2}=\frac{2mE}{h^{2}}$

得 $\frac{\mathrm{d}^{2} \psi _{i}}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2}\psi _{i}=0$

$\psi _{i}(x)=Csin(ks+\delta )$

式中C和 $\delta$ 是两待定常数.因为在阱壁上波函数必须单值、连续，利用边界条件

$\psi _{i}(0)=\psi _{e}(0)=0$

$\psi _{i}(a)=\psi _{e}(a)=0$

得波函数

$\Psi _{e}(x,t)=0$

$\Psi _{i}(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}sin\frac{n\pi }{a}xe^{-\frac{i}{h}Et}$

(1)粒子的能量不能连续地取任意值，只能取分立值。因为 $k^{2}=\frac{2mE}{h^{2}}$ ，而 $k=\frac{n\pi }{a}$ .所以

$E=\frac{h^{2}k^{2}}{2m}=\frac{n^{2}\pi ^{2}h^{2}}{2ma}=E_{n},n=1,2,3,...$

这就是说能量是量子化的.整数n称为粒子能量的量子数.

(2)粒子的最小能量不等于零因为n = 0, $\Psi _{i}(x,t)=0$ ,说明不存在这种状态。所以n最小取1，粒子的最小能量

$E_{l}=\frac{\pi ^{2}h^{2}}{2ma^{2}}$

粒子的最小能量状态称为基态，最小能量称为基态能

粒子处于势阱中，它的 $\Delta x$ 为势阱的宽度a所限制，从而导致最小能量的出现.这种最小能量有时称为零点能

( 3 ) 势阱中粒子出现的概率随位置而变化

概率密度的峰值个数和量子数n相等。若是经典粒子，因为在势阱内不受力，粒子在两阱壁间作匀速直线运动，所以粒子出现的概率处处一样；对于微观粒子，只有当 $n\rightarrow \infty$ 时，粒子出现的概率才是均匀的.

(4)粒子的物质波在阱中形成驻波。束缚在无限深势阱中的粒子的定态波函数具有驻波的形式，势阱内波函数是由反射波和入射波叠加而成的驻波.

二、一维势垒隧道效应

若有一粒子在力场中沿x方向运动，其势能分布如下U(x)为

$U_{0},0<x<a$

$0,x<0,x>a$

这种势能分布称为势垒

在粒子总能量低于势垒壁高( $E<U_{0}$ )的情况下，粒子有一定的概率穿透势垒.粒子能穿透比其动能更高的势垒的现象，称为隧道效应。通常用贯穿系数表示粒子贯穿势垒的概率，它定义为在x = a处透射波的“强度”(模的平方)与入射波“强度”之比，即

$T=\frac{\left | \psi _{3}(a) \right |^{2}}{A^{2}}=Ce^{-\frac{2}{h}\sqrt{2m(U_{0}-E)}a}$

式中C为常量，它的数量级接近于1.由此式可见，粒子的贯穿系数与势垒的宽度和高度有关.粒子的质量越小势垒越窄、粒子的能量与势垒高度相差越小，则穿透概率越大.当势垒加宽（a变大）或变高（ $U_{0}$ 变大）时，势垒贯穿系数变小.当势垒很宽和能量差很大的情况下，穿透势垒的概率几乎等于零，在这种情况下，由量子力学得出的结论与从经典力学得出的结论相符合，这是对应原理的又一表现。

电子的隧道效应研制成功扫描隧穿显微镜.金属的表面处存在着势垒，阻止内部的电子向外逸出，但由于隧道效应，电子仍有一定的概率穿过势垒到达金属的外表面，并形成一层电子云.

将原子线度的极细的探针和被研究样品的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠. 若在样品和探针之间加微小电压 $V_{b}$ ，电子就会穿过两个电极之间的势垒，流向另一个电极，形成隧道电流.这种隧道电流I的大小是电子波函数重叠程度的量度，与针尖和样品表面之间的距离s以及样品表面平均势垒高度h有关，有

$I\propto V_{b}e^{-A\sqrt{h}S}$

标签：波函数,概率,粒子,定态,势阱,势垒,大学物理,量子论,能量
来源： https://blog.csdn.net/m0_63355331/article/details/122433023