图的着色

文章目录

• 图的着色
• • 着色
  • • 点着色
    • 常见图的点色数
  • Peterson图
  • 安排期末考试问题
  • 地图的着色与平面图的点着色
  • • 定理12.13
    • 四色定理
  • 边着色
  • 排课问题
  • 色多项式
  • • 求色数多项式
    • 色多项式递推公式
    • 色多项式的性质
    • 定理12.11
    • 定理12.12

着色

着色：给图的某类元素(点,边,面)中的每个指定1种颜色,使得相邻元素有不同颜色

点着色

k-可着色的：能用k种颜色着色

k-色图：是k-可着色的，不是(k-1)可着色的

点色数：着色所需的最少颜色数，记作 χ ( G ) \chi(G) χ(G)

常见图的点色数

• χ ( G ) = 1 ⇔ G 是 零 图 \chi(G)=1\Harr G是零图 χ(G)=1⇔G是零图

• χ ( K n ) = N \chi(K_n)=N χ(Kn​)=N

• χ ( G ) = 2 ⇔ G 是 非 零 图 二 部 图 \chi(G)=2 \Harr G是非零图二部图 χ(G)=2⇔G是非零图二部图

• G 是 2 − 可 着 色 的 ⇔ G 是 二 部 图 ⇔ G 无 奇 圈 G是2-可着色的\Harr G是二部图 \Harr G无奇圈 G是2−可着色的⇔G是二部图⇔G无奇圈

• χ ( C n ) = { 2 n 偶 数 3 n 奇 数 \chi(C_n)= \begin {cases} 2 & n偶数\\ 3 & n奇数 \end {cases} χ(Cn​)={23​n偶数n奇数​

• χ ( W n ) = { 3 n 奇 数 4 n 偶 数 \chi(W_n)= \begin {cases} 3 & n奇数\\ 4 & n偶数 \end {cases} χ(Wn​)={34​n奇数n偶数​

定理12.7：对图G进行 χ ( G ) − 着 色 \chi(G)-着色 χ(G)−着色，得到不同着色的点集为划分

定理12.5：$\chi(G)\le \varDelta(G)+1 $

定理12.6：若连通图G不是完全图 K 3 ( n ≥ 3 ) K_3(n\ge3) K3​(n≥3)也不是奇圈，则 χ ( G ) ≤ Δ ( G ) \chi(G)\le\varDelta(G) χ(G)≤Δ(G)

Peterson图

由定理12.6 小于等于3

由奇圈，则大于等于3

综上，点色数为3

安排期末考试问题

顶点代表课，边代表这些课有公共学生，染色数代表排课时间段

地图的着色与平面图的点着色

地图：连通无桥平面图的平面嵌入及其所有的面称为(平面)地图

k-面可着色：可用k种颜色对平面地图着色

k-色地图：n是k-面可着色的,但不是(k-1)-面可着色的

面色数： χ ∗ ( G ) \chi^*(G) χ∗(G)

定理12.13

定理12.13：地图G是k-面可着色的⇔ 对偶图G*是k-可着色的.

四色定理

定理12.17：任何平面图都是4-可着色的

边着色

边色数： χ ′ ( G ) \chi'(G) χ′(G)

定理12.17：G是简单图，则 Δ ( G ) ≤ χ ′ ( G ) ≤ Δ ( G ) + 1 \varDelta(G)\le\chi'(G)\le\varDelta(G)+1 Δ(G)≤χ′(G)≤Δ(G)+1

G = < V 1 , V 2 , E > 是 二 部 图 ， 则 χ ′ ( G ) = Δ ( G ) G=<V_1,V_2,E>是二部图，则\chi'(G)=\varDelta(G) G=<V1​,V2​,E>是二部图，则χ′(G)=Δ(G)

n>1时，
χ ′ ( K n ) = { Δ ( G ) + 1 = n n 为 奇 数 Δ ( G ) = n − 1 n 为 偶 数 \chi'(K_n)= \begin{cases} \varDelta(G)+1=n &n为奇数\\ \varDelta(G)=n-1 &n为偶数 \end{cases} χ′(Kn​)={Δ(G)+1=nΔ(G)=n−1​n为奇数n为偶数​

排课问题

n个教师排m个班的课 ，每个老师每次只能给1个班上课，每个班每次只能听1个老师上课，则利用

二部图，至少排多少课为边色数，同色边代表上课可以同时进行

当节数不增加时，需要教室数最少，不同染色方案时同色边数量最大的值最小

n结论：有l门课程，被安排在p节课中，则每节课时平均有l/p门课同时上课，可以证明如下结论成立：

总存在一个排课方案，使得任意一节课时最多使用{l/p}间教室。

色多项式

f ( G , k ) = G 的 不 同 k − 着 色 方 案 的 总 数 f(G,k)=G的不同k-着色方案的总数 f(G,k)=G的不同k−着色方案的总数

求色数多项式

零图： f ( N n , k ) = k n f(N_n,k)=k^n f(Nn​,k)=kn

完全图： f ( K n , k ) = k ( k − 1 ) . . . ( k − n 1 ) = n ! C k n f(K_n,k)=k(k-1)...(k-n_1)=n!C^n_k f(Kn​,k)=k(k−1)...(k−n1​)=n!Ckn​

推论: f ( K n , k ) = f ( K n − 1 , k ) ( k − n + 1 ) ) , n ≥ 2 f(K_n,k)=f(K_{n-1,k})(k-n+1)),n\ge2 f(Kn​,k)=f(Kn−1,k​)(k−n+1)),n≥2

色多项式递推公式

定理12.9：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \e at position 24: …(G\ U\ e,k)+f(G\̲e̲,k),e\notin E(G…

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \e at position 20: …k)=f(G-e,k)-f(G\̲e̲,k),e\in E(G)

色多项式的性质

• 各项系数的符号是正负交替的
• k n k^n kn项的系数是
• k n − 1 k^{n-1} kn−1项系数是-m，m是G中的边数
• k 0 k^0 k0项的系数是0
• 系数非0项的最低次幂是 k p k^p kp,p是连通分支数

定理12.11

T是n阶树 ⇔ f ( T , k ) = k ( k − 1 ) n − 1 \Harr f(T,k)=k(k-1)^{n-1} ⇔f(T,k)=k(k−1)n−1

定理12.12

f ( C n , k ) = ( k − 1 ) + ( − 1 ) n ( k − 1 ) f(C_n,k)=(k-1)+(-1)^n(k-1) f(Cn​,k)=(k−1)+(−1)n(k−1)

标签：着色,复习,chi,定理,离散数学,多项式,cases,varDelta
来源： https://blog.csdn.net/Karthus77/article/details/122292948