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【高等数学】伽马函数与斯特林公式

作者:互联网

伽马函数的背景

  1728年,哥德巴赫在考虑数列插值的问题,通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合,例如数列1,4,9,16…可以用通项公式n²自然的表达,即便 n 为实数的时候,这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,…,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢?我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上,确实可以看到,容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
阶乘
伽马函数图像
  但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题,于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利,由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块,他也因此得知了这个问题。欧拉于1729 年解决了这个问题,由此导致了伽玛函数的诞生,当时欧拉只有22岁。

伽马函数的推导过程

对 1 1 − x 进 行 离 散 展 开 : 对\frac{1}{1-x}进行离散展开: 对1−x1​进行离散展开:
1 1 − x = Σ k = 0 ∞ x k \frac{1}{1-x}=\Sigma^{\infty}_{k=0}x^k 1−x1​=Σk=0∞​xk
再 对 他 进 行 连 续 展 开 : 再对他进行连续展开: 再对他进行连续展开:
1 1 − x = ∫ 0 + ∞ e − ( 1 − x ) t d t = ∫ 0 + ∞ e − t ⋅ e x t d t = ∫ 0 + ∞ e − t ⋅ Σ k = 0 ∞ ( x t ) k k ! d t = Σ k = 0 ∞ ∫ 0 + ∞ e − t t k d t k ! x k \frac{1}{1-x}=\int^{+\infty}_0e^{-(1-x)t}dt\\=\int^{+\infty}_0e^{-t}\cdot e^{xt}dt\\=\int^{+\infty}_0e^{-t}\cdot \Sigma^{\infty}_{k=0}\frac{(xt)^k}{k!}dt =\Sigma^{\infty}_{k=0}\frac{\int^{+\infty}_0e^{-t}t^kdt}{k!}x^k 1−x1​=∫0+∞​e−(1−x)tdt=∫0+∞​e−t⋅extdt=∫0+∞​e−t⋅Σk=0∞​k!(xt)k​dt=Σk=0∞​k!∫0+∞​e−ttkdt​xk

由 此 可 知 : Σ k = 0 ∞ x k = Σ k = 0 ∞ ∫ 0 + ∞ e − t t k d t k ! x k 即 k ! = ∫ 0 + ∞ e − t t k d t 由此可知:\Sigma^{\infty}_{k=0}x^k=\Sigma^{\infty}_{k=0}\frac{\int^{+\infty}_0e^{-t}t^kdt}{k!}x^k\\ 即k!=\int^{+\infty}_0e^{-t}t^kdt 由此可知:Σk=0∞​xk=Σk=0∞​k!∫0+∞​e−ttkdt​xk即k!=∫0+∞​e−ttkdt

我 们 设 伽 马 函 数 Γ ( x + 1 ) = x ! = ∫ 0 + ∞ e − t t x d t 我们设伽马函数\Gamma(x+1)=x!=\int^{+\infty}_0e^{-t}t^xdt 我们设伽马函数Γ(x+1)=x!=∫0+∞​e−ttxdt
Γ ( x ) = ∫ 0 + ∞ e − t t x − 1 d t \Gamma(x)=\int^{+\infty}_0e^{-t}t^{x-1}dt Γ(x)=∫0+∞​e−ttx−1dt

伽马函数与斯特林公式

lim ⁡ x → ∞ Γ ( x ) = 2 π e − x x x − 1 2 \lim_{x\rightarrow\infty} \Gamma(x)=\sqrt{2\pi}e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}} x→∞lim​Γ(x)=2π ​e−xxx−21​
lim ⁡ x → ∞ x ! = 2 π x ( x e ) x \lim_{x\rightarrow\infty}x!=\sqrt{2\pi x}(\frac{x}{e})^x x→∞lim​x!=2πx ​(ex​)x

标签:infty,frac,斯特林,lim,int,0e,伽马,高等数学
来源: https://blog.csdn.net/qq_52247089/article/details/121886167