《算术教程》笔记6
作者：互联网
特征标
令\(G\)是一个有限的交换群，则\(G\to\mathbb{C}^*\)的同态称为\(G\)的特征标。\(G\)的所有特征标组成一个有限的交换群，记\(\hat{G} = \text{Hom}(G, \mathbb{C}^*)\)。我们发现对于\(x\in G\)，特征标的映射\(\epsilon: \chi \to \chi(x)\)定义了一个\(G \to \hat{\hat{G}}\)的同构。
我们令\(n = |G|, \chi \in \hat{G}\)于是有
\[\sum_{x\in G}\chi(x) = \begin{cases} n & \chi(x) = 1\\ 0 & \chi(x) \neq 1 \end{cases}\]证明如下：我们取\(y\in G\)，则
\[\chi(y) \sum_{x\in G}\chi(x) = \sum_{x\in G}\chi(xy) = \sum_{x\in G}\chi(x) \]即
\[(\chi(y) - 1) \sum_{x\in G}\chi(x) = 0 \]所以要么\(\chi(y) = 1\)，要么\(\sum_{x\in G}\chi(x) = 0\)。
把这个定理应用在\(\hat{G}\)上就得到：对任意\(x\in G\)
\[\sum_{\chi\in \hat{G}}\chi(x) = \begin{cases} n & x = 1\\ 0 & x \neq 1 \end{cases}\]狄利克雷级数
令非负实数列\(\{\lambda_n\}\)是发散到\(+\infty\)的严格单调递增序列，则级数
称为狄利克雷级数。
狄利克雷级数的重要性质是，如果\(f(s)\)在\(s_0 = \sigma_0 + t_0i\)处收敛，那么它对于任何\(s = \sigma + t_0i, \sigma > \sigma_0\)都是收敛的。因此我们可以定义狄利克雷级数的收敛横坐标\(\sigma_c\)：
\[\sigma_c = \inf\{\sigma\in \mathbb{R} : \sum_{n=1}^\infty a_n \exp(-\lambda_ns)在\text{Re}(s) > \sigma时收敛 \} \]我们可以计算收敛横坐标为
\[\sigma_c = \begin{cases} \lim_{n\to\infty} \ln|\sum_{i=1}^n a_i| / \lambda_n & \sum_{i=1}^\infty a_i 发散 \\ \lim_{n\to\infty} \ln|\sum_{i=n+1}^\infty a_i| / \lambda_n & \sum_{i=1}^\infty a_i 收敛 \end{cases}\]注意在\(\text{Re}(s) = \sigma_c\)上，狄利克雷级数\(f(s)\)既可能是发散的，也可能是收敛的。
黎曼\(\zeta\)函数
在狄利克雷级数中，我们取\(a_n = 1, \lambda_n = \ln n\)就得到
称为黎曼\(\zeta\)函数。通过收敛横坐标的公式我们得到\(\zeta(s)\)在\(\text{Re}(s) > 1\)时收敛，而且我们还可以得到\(\text{Re}(s) = 1\)时的收敛性。我们可以把\(\zeta(s)\)写成
\[\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n^s} - \int_{n}^{n+1}t^{-s}dt\right) = \frac{1}{s-1} + \sum_{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1}(n^{-s} - t^{-s})dt \]令\(\phi_n(s) = \int_{n}^{n+1}(n^{-s} - t^{-s})dt\)则随着\(n\)增大
\[|\phi_n(s)| \leq\sup_{n\leq t\leq n+1}|n^{-s} - t^{-s}| = \sup_{n\leq t\leq n+1}\left|\int_n^{t} \frac{s}{r^{s+1}} dr\right| \leq \sup_{n\leq t\leq n+1} \int_n^{t} \left|\frac{s}{r^{s+1}}\right| dr\leq \sup_{n\leq t\leq n+1} \frac{|s|(t - n )}{n^{\text{Re}(s)+1}} = \frac{|s|}{n^{\text{Re}(s)+1}} \to 0 \]因此\(\sum \phi_n(s)\)是收敛的，从而\(\zeta(s)\)在\(\text{Re}(s) \geq 1\)上只有\(s=1\)一个极点，且
\[\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta(s) = 1 \]狄利克雷密度
我们令\(P\)是所有的素数，黎曼函数\(\zeta(s)\)就可以写成
当\(s\to 1\)时，考虑\(\ln(1-x)\)的泰勒展开
\[\ln\zeta(s) = -\sum_{p \in P} \ln(1-p^{-s}) = \sum_{p \in P} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{kp^{ks}} = \sum_{p\in P} \frac{1}{p^s} + \psi(s) \]而后面一项
\[\sum_{p \in P}\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{p^{ks}} \leq \sum_{p \in P}^\infty \frac{1}{p^s(p^{s}-1)} \leq \sum_{p \in P}^\infty \frac{1}{p(p-1)} \leq \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} = 1 \]因此，当\(s\to 1\)时就有
\[\sum_{p\in P} \frac{1}{p^s} \sim \ln\frac{1}{s-1} \]我们可以以此来定义狄利克雷密度，令\(A\subset P\)，则\(A\)的狄利克雷密度是
\[\lim_{s \to 1} \left(\sum_{p\in A} \frac{1}{p^s} \bigg/ \ln\frac{1}{s-1}\right) \]由此，我们令\(P_a\)为模m余a的素数。即对任意\(p\in P_a\)
\[a^{-1}p = 1 \mod m \]我们计算\(P_a\)的狄利克雷密度，定义
\[g(s) = \sum_{p\in P_a} \frac{1}{p^s} \]令\(G(m)\)为模m乘法群，我们得到
\[\sum_{\chi\in \hat{G}(m)}\chi(a^{-1}p) = \phi(m) \]于是，我们可以考虑
\[g(s)\phi(m) = \sum_{p \in P_a} \frac{1}{p^s}\sum_{\chi\in \hat{G}(m)} \chi(a^{-1}p) = \sum_{\chi\in \hat{G}(m)}\chi(a)^{-1} \sum_{p \in P_a} \frac{\chi(p)}{p^s} \]由于当\(\chi(p) = 1\)时，\(\sum_{p \in P_a} p^{-s}\chi(p)\)和\(\sum_{p \in P} p^{-s}\)只相差有限项；而当\(\chi(p) \neq 1\)时，\(\sum_{p \in P_a} p^{-s}\chi(p)\)是有界的。因此，
\[g(s)\phi(m) = \sum_{\chi\in \hat{G}(m)}\chi(a)^{-1} \sum_{p \in P_a} \frac{\chi(p)}{p^s} \sim \sum_{p \in P} p^{-s}\sim \log\frac{1}{s-1} \]因此\(P_a\)的狄利克雷密度是\(1/\phi(m)\)。
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