【刷题】动态规划——最长上升子序列：拦截导弹

第一问就是普通的最长下降子序列，重点是第二问。

先给出贪心策略：
首先假设已有若干套系统拦截了导弹，对于一个新来的导弹X：
1、如果已有的系统能够拦截X，很自然的想法是把他丢到已有系统中末尾最小的，因为这样其他系统的末尾才能尽可能大，拦截更多的导弹。
2、如果已有系统都不能拦截X，那么创建一个新的系统。

问题是如何证明这个贪心是对的？

假设A是贪心法得到的序列数，B是最优解得到的序列数，显然B的序列是最少的，即B <= A。

现在有若干序列，新来了导弹X，假设贪心法和最优解使X接在了不同的序列后面
。。。。。
。。。。。
。。。a X 贪心法
。。。。。
。。。b X 最优解
由贪心法知，a一定是所有序列里，末尾小于X的最小的数，所以a <= b。

假设俩序列在后续步骤中分别变成
。。。a X 。。。 贪心法
。。。b X 。。 最优解
事实上，交换a和b后面的部分，变成
。。。a X 。。 贪心法
。。。b X 。。。 最优解
并不会增加序列的个数。
所以其实贪心法的解是可以通过一步一步慢慢交换，变成最优解的解。因此贪心法的序列数是不多于最优解的
故A <= B
综上A = B

标签：拦截导弹,假设,系统,序列,最优,刷题,拦截,贪心
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