【笔记】第三章 作为流体的等离子体
作者：互联网
3. 1 引言
在等离子体中, 情况远比第 2 章所述的复杂; \(\boldsymbol{E}\) 场和 \(\boldsymbol{B}\) 场不能事先规定, 而 应由带电粒子本身的位置和运动来决定. 我们必须解一个自恰问题 (self-consistent problem), 即找出这样一组粒子轨道和场模式, 使得粒子沿着它们的轨道运 动时产生场, 而场使粒子在它们的确切轨道上运动. 而我们又必须在随时间变化 的情况下解出这个问题!
我们已经看到, 典型等离子体密度可以达到每立方厘米含 \(10^{12}\) 离子-电子对. 如果每一个粒子都遵循一条复杂的轨道, 并且需要跟踪每一条这样的轨道, 则导 出等离子体的行为将是一个没有希望的工作.
目前，描述等离子体的方法主要有以下几种：
粒子模拟（PIC）：追踪每个粒子，粒子在其它粒子产生的场和外场中运动，并改变场；改变的场使得粒子沿着新的轨道运动，循环。
动力学描述方法：求解波尔兹曼方程或V1asov方程。
流体力学描述：求解磁流体力学方程。
幸好, 这种工作通常是不必要的, 因为出人意料的是, 用一个相当粗糙的模型能解释实际实验中所观察到的大多数 (也许多达 \(80 \%\) ) 等离子体现象. 这个模型是流体力学中所用的模型, 在那里忽 略了个别粒子的本性, 而只考虑流体元的运动. 当然, 在等离子体情形中, 流体 包含电荷. 在一种普通的流体中, 粒子间的频繁碰撞使得流体元中的粒子一起运 动. 令人惊奇的是, 这样一个模型适用于一般不发生频繁碰撞的等离子体. 但是 我们将看到, 这种处理是有理由的.
流体力学描述又分为三种：
磁流体力学方法；
流体动力学方法；
解析的相似方法。
本书的大部分将叙述等离子体流体理论所能研究的内容. 更完善的处理方法 (等离子体动力学理论 (the kinetic theory of plasma)) 需要较多的数学计算, 以 至于它不宜在人门课程中探讨, 第 7 章给出了动力学理论的介绍.
在某些等离子体问题中, 流体理论和动力学理论都不足以描述等离子体行 为 - 这时, 我们必须返回到跟踪个别粒子轨道这种烦琐的过程. 现代计算机能够 做到这一点, 虽然它们只能存储大约 \(10^{4}\) 粒子的位置和速度分量, 而且除了几种 情况外, 仅能解决一维和二维的问题. 甚至在动力学理论也不能很好地解释观察 到的现象的那些实例中, 计算机模拟却在弥合理论和实验间的差距上逐渐起到了 重要的作用.
3. 2 等离子体物理学与普通电磁学的关系
3. 2.1 麦克斯韦方程组 (用静电单位制)
在真空中
\[\begin{gathered} \nabla \cdot \boldsymbol{E}=4 \pi \sigma&(3-1) \\ \nabla \times \boldsymbol{E}=-\dot{\boldsymbol{B}}&(3-2) \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 &(3-3)\\ c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi \boldsymbol{j}+\dot{\boldsymbol{E}}&(3-4) \end{gathered} \]在介质中
\[\begin{gathered} \nabla \cdot \boldsymbol{D}=4 \pi \sigma&(3-5) \\ \nabla \times \boldsymbol{E}=-\dot{\boldsymbol{B}}&(3-6) \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 &(3-7)\\ c^{2} \nabla \times \boldsymbol{H}=4 \pi \boldsymbol{j}+\dot{\boldsymbol{D}} &(3-8)\\ \boldsymbol{D}=\in \boldsymbol{E}&(3-9) \\ \boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{H}&(3-10) \end{gathered} \]在方程 (3-5) 和方程 (3-8) 中, \(\sigma\) 和 \(j\) 代表 “自由”电荷和电流密度. 由媒质的 极化和磁化引起的 “束缚” 电荷和电流密度包括在量 \(\boldsymbol{D}\) 和 \(\boldsymbol{H}\) 的定义中（用 \(\in\) 和 \(\mu\) 表示）. 在等离子体中, 组成等离子体的离子和电子等价于 “束缚” 电荷和电 流. 由于这些电荷的复杂运动, 试图将它们的影响集中为两个常数 \(\in\) 和 \(\mu\) 是不实 际的. 因此, 在等离子体物理学中, 我们一般使用真空中的方程 (3-1) ~方程 (3-4), 而在方程中, \(\sigma\) 和 \(j\) 包括外部和内部的所有电荷和电流.
注意到我们用了真空方程中的 \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\), 而不是用当 \(\epsilon=\mu=1\) 时和它们等价的 \(\boldsymbol{D}\) 和 \(\boldsymbol{H}\). 这是因为甚至在 \(\epsilon\) 和 \(\mu\) 不等于 1 时, 力 \(q \boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{B}\) 亦取决于 \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\), 而 不取决于 \(\boldsymbol{D}\) 和 \(\boldsymbol{H}\), 而力才是实际的可测量.
3. 2.2 磁性材料的经典处理
由于每个回转粒子都有一个磁矩, 看来将等离子体考虑为具有磁导率 \(\mu_{\mathrm{m}}\) 的 性材料似乎是合乎逻辑的事情（我们在磁导率上加上下标 \(\mathrm{m}\), 以区别于绝热不变量 \(\mu\) ) . 为了了解实际上为什么不这样处理, 先让我们评述通常处理磁性材料 的方法.
比如, 具有磁矩 \(\mu_{i}\) 的一块铁的磁畴引起单位体积的体磁化为
它与束缚电流密度
\[\boldsymbol{j}_{\mathrm{b}}=c^{2} \nabla \times \boldsymbol{M}\tag{3-12} \]的作用是相同的. 在真空方程 (3-4) 中, 我们必须在 \(j\) 中包括这个电流和“自 由” (或外加的) 电流 \(j_{f}\) :
\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi\left(\boldsymbol{j}_{\mathfrak{f}}+\boldsymbol{j}_{\mathrm{b}}\right)+\dot{\boldsymbol{E}}\tag{3-13} \]\[\begin{align} c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}-4\pi \boldsymbol{j}_{\mathrm{b}}&=4 \pi\boldsymbol{j}_{\mathrm{f}}+\dot{\boldsymbol{E}}\tag{3-13}\\ c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}-4\pi (c^{2} \nabla \times \boldsymbol{M})&=4 \pi\boldsymbol{j}_{\mathrm{f}}+\dot{\boldsymbol{E}}\\ c^{2} \nabla \times(\boldsymbol{B}-4 \pi \boldsymbol{M})&=4 \pi \boldsymbol{j}_{f}+\dot{E} \end{align} \]
通过在 \(\boldsymbol{H}\) 定义中包括 \(\boldsymbol{j}_{\mathrm{b}}\), 把方程（3-13）写成简单形式
\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{H}=4 \pi \boldsymbol{j}_{\mathrm{f}}+\dot{\boldsymbol{E}}\tag{3-14} \]倘若我们令
\[\boldsymbol{H}=\boldsymbol{B}-4 \pi \boldsymbol{M} \]就能做到这一点. 为了给出 \(\boldsymbol{B}\) 和 \(\boldsymbol{H}\) 之间的简单关系式, 我们假定 \(\boldsymbol{M}\) 正比于 \(\boldsymbol{B}\) 或 \(\boldsymbol{H}\)
\[\boldsymbol{M}=\chi_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H}\tag{3.16} \]常数 \(\chi_{\mathrm{m}}\) 为磁化率. 我们现在得到
\[\boldsymbol{B}=\left(1+4 \pi \chi_{\mathrm{m}}\right) \boldsymbol{H} \equiv \mu_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H}\tag{3.17} \]因为方程 (3-16) 有线性形式, \(\boldsymbol{B}\) 和 \(\boldsymbol{H}\) 之间的这种简单关系是可能的.
在具有磁场的等离子体中, 每个粒子有磁矩 \(\boldsymbol{\mu}_{\alpha}\), 量 \(\boldsymbol{M}\) 是 \(1 \mathrm{~cm}^{3}\) 中所有 \(\boldsymbol{\mu}_{\alpha}\) 的 和. 但现在
\(\boldsymbol{M}\) 和 \(\boldsymbol{H}\) （或 \(\boldsymbol{B}\) ）之间的关系不再是线性的, 我们就不能写成 \(\boldsymbol{B}=\mu_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H}\left(\mu_{\mathrm{m}}\right.\) 为常 数）. 因此, 把等离子体考虑为磁介质是没有用的.
3.2.3 电介质的经典处理
单位体积的极化度 \(\boldsymbol{P}\) 是所有电偶极子各极矩 \(\boldsymbol{P}_{i}\) 的总和. 它引起一个束缚电荷 密度
\[\sigma_{\mathrm{b}}=-\nabla \cdot \boldsymbol{P}\tag{3.18} \]在真空方程 (3-1) 中, 必须包括束缚电荷和自由电荷
\[\nabla \cdot \boldsymbol{E}=4 \pi\left(\sigma_{\mathrm{f}}+\sigma_{\mathrm{b}}\right)\tag{3.19} \]\[\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E}&=4 \pi\left(\sigma_{\mathrm{f}}+\sigma_{\mathrm{b}}\right)\tag{3.19}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{E}-4\pi\sigma_b&=4\pi\sigma_f\\ \nabla \cdot \boldsymbol{E}+4\pi\nabla \cdot \boldsymbol{P}&=4\pi\sigma_f\\ \nabla\cdot(\boldsymbol{E}+4\pi \boldsymbol{P})&=4\pi\sigma_f\\ \nabla\cdot\boldsymbol{D}&=4\pi\sigma_f \end{align} \]
我们希望通过在 \(\boldsymbol{D}\) 的定义中包括 \(\sigma_{\mathrm{b}}\), 能将方程 (3-19) 写成下面的简单形式, 即
\[\nabla \cdot \boldsymbol{D}=4 \pi \sigma_{f} \]令
\[\boldsymbol{D}=\boldsymbol{E}+4 \pi \boldsymbol{P} \equiv \epsilon \boldsymbol{E}\tag{3-21} \]就能做到这一点.
如果 \(\boldsymbol{P}\) 线性正比于 \(\boldsymbol{E}\), 即
\[\boldsymbol{P}=\chi_{\mathrm{e}} \boldsymbol{E}\tag{3-22} \]那么, \(\in\) 是常数
\[\epsilon=1+4 \pi \chi_{\mathrm{e}}\tag{3-23} \]因为没有先验理由说, 在等离子体中像方程 (3-22) 这样的关系式不能成立, 所 以我们可以尝试给出等离子体中 \(\in\) 的表达式.
由于在等离子体中，电荷的极化(产生分离场)的确与电场成正比，因此在等离子体中象(3-22)这样的关系式能够成立，所以，我们可以尝试给出等离子体中 \(\in\)的表达式。
3. 2.4 等离子体的介电常数
我们在第 \(2.5\) 节已经看到, 一个涨落的 \(\boldsymbol{E}\) 场能引起极化电流 \(\boldsymbol{j}_{\mathrm{p}} .\) 它
\[j_{\mathrm{p}}=n e\left(v_{\mathrm{ip}}-v_{\mathrm{ep}}\right)=\frac{n e}{e B^{2}}(M+m) \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{E}}{\mathrm{d} t}=\frac{\rho}{B^{2}} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{E}}{\mathrm{d} t}\tag{2-67} \]又由连续 性方程
\[\frac{\partial \sigma_{\mathrm{p}}}{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{j}_{\mathrm{p}}=0\tag{3.24} \]给出极化电荷. 正如我们在前面注意到的那样, 在等离子体中, 极化效应是不出 现的（除非电场随时间变化）. 除了这点以外, 方程 (3-24) 和方程 (3-18) 是等 价的.
\(\sigma_{\mathrm{b}}=-\nabla \cdot \boldsymbol{P}\quad(3.18)\)
由于我们有 \(j_{\mathrm{p}}\) 的明显表达式, 但 \(\sigma_{\mathrm{p}}\) 则没有, 用第四个麦克斯韦方程 (3-4) 来运算就比较容易
\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi\left(\boldsymbol{j}_{\boldsymbol{f}}+\boldsymbol{j}_{\mathrm{p}}\right)+\dot{\boldsymbol{E}} \]\(c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi \boldsymbol{j}+\dot{\boldsymbol{E}}\quad(3.4)\)
我们希望将这个式子写成如下形式
\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi \boldsymbol{j}_{\mathrm{f}}+\in \dot{\boldsymbol{E}} \]如果令
\[\epsilon=1+\frac{4 \pi j_{\mathrm{P}}}{\dot{E}} \]就能做到这一点.
\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi\left(\boldsymbol{j}_{\boldsymbol{f}}+\boldsymbol{j}_{\mathrm{p}}\right)+\dot{\boldsymbol{E}} \\c^{2} \nabla \times \vec{B}=4 \pi \vec{j}_{f}+4 \pi \frac{\rho}{B^{2}} \dot{E}+\dot{E} \\ c^{2} \nabla \times \vec{B}=4 \pi \vec{j}_{f}+\left(1+4 \pi \frac{\rho}{B^{2}}\right) \dot{E} \]
从 \(\boldsymbol{j}_{\mathrm{p}}\) 的方程 (2-67), 我们得到
\[\epsilon=1+\frac{4 \pi \rho}{B^{2}}\tag{3-28} \]这就是横向运动的低频等离子体介电常数（low frequency plasma dielectric constant for transverse motions）. 加上这些形容词是必要的, 因为仅对于 \(\omega^{2} \ll \omega_{\mathrm{c}}^{2}\) 【电磁场频率要小于等离子体固有频率才能进入】和 \(\boldsymbol{E}\) 垂直于 \(\boldsymbol{B}\) 的情况, 我们所用的表达式才是正确的. 当然, \(\in\) 的一般表达式是非 常复杂的, 而且很难在一页中写完.
注意到 \(\rho \rightarrow 0\) 时,【相当于没有等离子体】 \(\in\) 如它所应该的那样接近于它的真空值 1 . 当 \(B \rightarrow \infty\) 时, \(\in\) 也接近于 1 . 这是因为极化漂移 \(v_{\mathrm{p}}\) 在那时变为零, 粒子并不响应横向电场而运 动.
在通常的实验室等离子体中, 方程 (3-28) 中的第二项大于 1. 例如, 如果 \(n=10^{10} \mathrm{~cm}^{-3}, B=1 \mathrm{kG}\), (对氢) 就有
\[\frac{4 \pi \rho c^{2}}{B_{\mathrm{G}}^{2}}=\frac{12.6 \times 10^{10} \times\left(1.67 \times 10^{-24}\right) \times\left(9 \times 10^{20}\right)}{10^{6}}=189 \]这说明等离子体中粒子产生的电场极大地改变了外加场. 正像具有小 \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 的等离子 体屏蔽直流电场一样, 一个具有很大 \(\in\) 的等离子体屏蔽了交变场
3. 3 流体运动方程
麦克斯韦方程告诉我们, 对给定的等离子体态, \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 是什么. 为了解这个 自洽问题, 我们也必须有一个方程, 它给出等离子体对给定 \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 的响应. 在流 体近似中, 我们认为等离子体是由两个或更多相互贯穿的流体 (interpenetrating fluids）所组成（每个种类算一种流体）. 在最简单的情况下, 当只有一种离子 时, 我们将需要两个运动方程, 一个是带正电的离子流体方程, 另一个是带负电 的电子流体方程. 在部分电离的气体中, 我们还将需要一个中性原子的流体方 程 . 中性流体仅通过碰撞才同离子和电子相互作用. 而离子和电子流体甚至在无 碰撞时彼此也有相互作用, 因为它们产生 \(\boldsymbol{E}\) 场和 \(\boldsymbol{B}\) 场 .
3.3.1 运流微商
单粒子的运动方程是
\[m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=q(\boldsymbol{E}+v \times \boldsymbol{B})\tag{3-29} \]首先假定不存在碰撞和热运动, 那时流体元中的所有粒子一起运动, 在流体之 中, 粒子的平均速度 \(\boldsymbol{u}\) 和个别粒子速度 \(\boldsymbol{v}\) 是相同的. 简单地用密度 \(n\) 乘方程 (3-29), 就可得到流体方程
\[m n \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d} t}=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})\tag{3-30} \]然而, 对使用来讲, 这不是一种方便的形式. 在方程 (3-29) 中, 对时间的微商 将在随粒子运动的坐标系中 (in the frame moving with the particle) 取得. 另外, 我们希望得到一个固定在空间中 (fixed in space) 的流体元方程, 因为在其他坐 标系中进行运算总是不实际的. 将一杯咖啡中的一滴乳酪作为流体元, 当搅拌咖 啡时, 这滴乳酪变形成细丝, 并最后在整个杯子中完全散开, 损失它的本体. 然 而, 在杯中一个固定点的流体元, 虽然粒子连续地进人和离开这个流体元, 但始 终保持它的本体.
为了变换到固定坐标系中, 考虑 \(G(x, t)\) 是一维 \(x\) 空间中流体的任何性质. 在随流体运动的坐标系中, \(G\) 随时间的变化是两项之和
\[\frac{d \vec{G}(x, t)}{d t}=\frac{\partial \vec{G}}{\partial t}+\frac{\partial \vec{G}}{\partial x} \frac{d x}{d t}=\frac{\partial \vec{G}}{\partial t}+u_{x} \frac{\partial \vec{G}}{\partial x}\tag{3-31} \]其中, 右边的第一项代表在空间固定点 \(G\) 的变化, 第二项代表当观察者随流体运 动进入不同 \(\boldsymbol{G}\) 区域时 \(\boldsymbol{G}\) 的变化. 在三维时, 方程 (3-31) 推广成
\[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{G}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \boldsymbol{G}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{G}\tag{3-32} \]这就叫做运流微商, 有时也写成
\[\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{G}}{\mathrm{D} t} \]注意到 \((\boldsymbol{u} \cdot \nabla)\) 是一个标量微分算符. 由于 这项的符号有时会搞乱, 我们给出两个简单的例子.
- 图 3-1 示出了一个电水加热器, 其中热水上升到顶部, 而 冷水下沉到底部. 令 $G(x, t)$ 代表温度 $T$, 则 $\nabla G$ 是朝上的. 考虑一个接近于水箱边缘的流体元, 如果接通加热器, 则当 流体元运动时, 它被加热, 就得到 $\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}>0$. 另外, 如果一个搅 拌轮形成如图 3-1 所示的流动形式, 由于从底部来的冷水对流 而降低了固定流体元中的温度. 这时就得到 $\partial T / \partial x>0, u_{x}>0$, 因此 $u \cdot \nabla T>0$. 固定元中的温度变化由这些影响的平衡而 得到
\[\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}-\boldsymbol{u} \cdot \nabla T
\] 很清楚, 至少对短时间而言, \(\partial T / \partial t\) 可能为零.
- 作为第二个例子, 我们可以取 \(\boldsymbol{G}\) 为接近河流人海口处水的盐分 \(S\) (图 3-2). 如果 \(x\) 指向上游方向,
正常时 \(S\) 的梯度为 \(\frac{\partial S} { \partial x}<0\). 当潮流来到时, 盐和淡水之 间的整个交界面向上游运动, \(u_{x}>0\). 这样,
说明在任何给定点盐分增加. 当然, 如果下雨, 盐分处处减少, 这时在方程 (3-34) 的中间部分要加上一个负的 \(\frac{\mathrm{d} S} {\mathrm{d} t}\).
\[\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{d S}{d t}-u_{x} \frac{\partial S}{\partial x} \Rightarrow \frac{d S}{d t}=\frac{\partial S}{\partial t}+u_{x} \frac{\partial S}{\partial x} \]上式有问题？
描述运流微商：1.欧拉方法 2.勒格朗日方法
就等离子体来说, 我们取 \(\boldsymbol{G}\) 代表流体速度 \(\boldsymbol{u}\), 并把方程 (3-30) 写成
\[m n\left[\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{u}\right]=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B}) \]\(m n \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d} t}=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})\quad\text{(3-30)}\)
其中, \(\frac{\partial \boldsymbol{u}} {\partial t}\) 是固定坐标系中的时间导数.
考虑\(\rho = mn\)，
\[\rho\left[\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}\right]=\frac{q}{m} \rho[\vec{E}+\vec{u} \times \vec{B}] \]3.3.2 压力张量
当考虑热运动时, 方程 (3-35) 的右边必须加上一个压力. 这个力由流体元 内外粒子的无规则运动引起, 它在单粒子方程中并不出现. 令流体元 \(\Delta x \Delta y \Delta z\) 的 中心位于 \(\left(x_{0}, \frac{1}{2} \Delta y, \frac{1}{2} \Delta z\right)\) (图 3-3),
为简单起见, 我们只考虑通过 \(A\) 面和 \(B\) 面运动的 \(x\) 分量. 每秒以速度 \(v_{x}\) 通过面 \(A\) 的粒子数是
\[\Delta n_{v} v_{x} \Delta y \Delta z \]\[\begin{align} &\Delta t时间内，A面左侧\Delta V体积内的粒子通过A面,粒子数\Delta n_v \Delta V\\ &每秒通过通过A面的粒子数=\frac {\Delta n_v \Delta V}{\Delta t}=\frac {\Delta n_v\Delta x \Delta y \Delta z}{\Delta t}=\Delta n_v v_x\Delta y \Delta z\\ &流体元中并不是所有粒子速度都相同，这里的\Delta V, v_x,\Delta n_v都是针对某一速度的粒子来说的。\\ &和这个比较像的是电流的微观表达式I=nqsv，推导方法类似于上面，不同点是认为导线中电子的移动速度都为v,\\ &则每秒通过横截面的电子数量为nsv。 \end{align} \]
其中, \(\Delta n_{v}\) 是每立方厘米中具有速度 \(v_{x}\) 的粒子数
\[\Delta n_{v}=\Delta v_{x} \iint f\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right) \mathrm{d} v_{y} \mathrm{~d} v_{z} \]\(f(v)\)是速度分v布函数。\(dn=f(v)dv\),此处把yz方向都积掉，得\(f(v_x)\)。【与热学书上不同，为什么】
\[这里的f(v)应该是f(v)=\frac{n}{\mathrm{d}v}，数密度函数\\ 而热学书上f(v)=\frac{n}{N\mathrm{d}v}，几率密度函数 \]
每个粒子携带动量 \(m v_{x}\). 假定每个立方体的密度 \(n\) 和温度 \(K T\), 具有相应于立方体 中心的值, 则在 \(x_{0}\) 点通过 \(A\) 面进人流体元的粒子所带入的动量 \(P_{A+}\) 为
\[P_{A+}=\sum \Delta n_{v} m v_{x}^{2} \Delta y \Delta z=\Delta y \Delta z\left[m \overline{v_{x}^{2}} \frac{1}{2} n\right]_{x_{0}-\Delta x} \]对 \(\Delta n_{v}\) 求和, 得到对分布的平均 \(\overline{v_{x}^{2}}\). 出现因子 \(1 / 2\) 是由于在 \(x_{0}-\Delta x\) 立方体中只有 一半粒子向 \(A\) 面运动.
每秒以速度 \(v_{x}\) 通过面 \(A\) 的粒子数是\(\Delta n_{v} v_{x} \Delta y \Delta z\)
每秒通过A面总动量\(P_{总}=\sum P_i=\sum n_im_iv_i=\sum n_imv_i=m\sum (\Delta n_{v} v_{x} \Delta y \Delta z)v_x=\sum \Delta n_{v} m v_{x}^{2} \Delta y \Delta z\)
\(\bar{v^2_x}=\sum v_x^2 P_{vx}=\sum v_x^2 \frac {\Delta n_{vx}}{n}\qquad\Rightarrow\sum v_x^2 {\Delta n_{vx}}=n\bar{v^2_x}\)
\(P_{vx}=\frac {\Delta n_{vx}}{n}\)
上式未考虑速度方向，速度\(v_x\)可能向右也可能向左，数量各占一半，\(\Delta n_{vx右}=\frac 1 2 \Delta n_{vx}\)
所以\(P_{A+}=\sum \Delta n_{vx右} m v_{x}^{2} \Delta y \Delta z=\sum \frac 1 2 \Delta n_{vx} m v_{x}^{2} \Delta y \Delta z=\Delta y \Delta z\left[m \overline{v_{x}^{2}} \frac{1}{2} n\right]_{x_{0}-\Delta x}\)
同样, 通过 \(B\) 面带走的动量是
\[P_{B+}=\Delta y \Delta z\left[m \overline{v_{x}^{2}} \frac{1}{2} n\right]_{x_{0}} \]因为达到热动平衡，AB面压强相等，也是\(\frac 1 2\)的由来。
这样, 向右运动的粒子引起 \(x\) 方向动量的净增加为
\[\begin{aligned} P_{A+}-P_{B+} &=\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m\left(\left[n \overline{v_{x}^{2}}\right]_{x_{0}-\Delta x}-\left[n \overline{v_{x}^{2}}\right]_{x_{0}}\right) \\ &=\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m(-\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n \overline{v_{x}^{2}}\right) \end{aligned} \]这里\(n\overline{v^2_x}\)是x的函数，\(f(x)=n\overline{v^2_x}\)
\(f(x_2)-f(x_1)=\frac {\partial f}{\partial x}(x_2-x_1)\)
\(\left[n \overline{v_{x}^{2}}\right]_{x_{0}-\Delta x}-\left[n \overline{v_{x}^{2}}\right]_{x_{0}}=(-\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n \overline{v_{x}^{2}}\right)\)
由于向左边运动粒子的贡献, 这个结果将恰好增加一倍, 因为它们携带了负 \(x\) 方 向动量, 而且相对于 \(n \overline{v_{x}^{2}}\) 的梯度做反向运动.
\[\begin{aligned} p_{B-}-p_{A-} &=-\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m\left(\left[n v_{x}^{2}\right]_{x_{0}+\Delta x}-\left[n v_{x}^{2}\right]_{x_{0}}\right) \\ &=-\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m(\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n v_{x}^{2}\right) \end{aligned} \]因此, 在 \(x_{0}\) 点流体元的动量总变 化是
\[\vec P_{总}=\vec P_{右}+\vec P_{左}=[P_{A+}-P_{B+}]+[P_{B-}-P_{A-}]=\\ \Delta y \Delta z \frac{1}{2} m(-\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n \overline{v_{x}^{2}}\right)-\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m(\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n v_{x}^{2}\right) \]\[\frac{\partial}{\partial t}\left(n m u_{x}\right) \Delta x \Delta y \Delta z=-m \frac{\partial}{\partial x}\left(n \overline{v_{x}^{2}}\right) \Delta x \Delta y \Delta z\tag{3-38} \]
令粒子的速度 \(v_{x}\) 分成两部分
\[v_{x}=u_{x}+v_{x r}, \quad u_{x}=\overline{v_{x}} \]粒子速度等于流体速度加上自己的热运动速度。
所以\(u_x=\overline {v_x}+v_{xr}\)
其中, \(u_{x}\) 是流体速度, 而 \(v_{x r}\) 是随机热速度. 对于一维麦克斯韦分布, 从方程 (1-7) 得到
\[\frac{1}{2} m \overline{v_{xr}^{2}}=\frac{1}{2} K T\tag{3-39} \]现在方程 (3-38) 变成
\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left(n m u_{x}\right) &=-m \frac{\partial}{\partial x}\left[n\left(\overline{u_{x}^{2}}+2 \overline{u v_{x r}}+\overline{v_{x r}^{2}}\right)\right] \\ &=-m \frac{\partial}{\partial x}\left[n\left(\overline{u_{x}^{2}}+\frac{K T}{m}\right)\right] \end{aligned} \]\(2 \overline{u v_{x r}}\)最好写成\(2 \overline{\vec u \vec v_{x r}}\)，因为本来就是矢量式，其中\(\overline{\vec v_{xr}}=0\)，因为热运动速度平均为零。第二项也就为零。
由偏微分, 我们能消去两项
\[m n \frac{\partial u_{x}}{\partial t}+m u_{x} \frac{\partial n}{\partial t}=-m u_{x} \frac{\partial\left(n u_{x}\right)}{\partial x}-m n u_{x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(n K T) \]这里\(nu_x^2=nu_x\cdot u_x\),
有个问题\(\overline {u_x^2}\)还能拆开吗
质量守恒方程
\[\frac{\partial n}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(n u_{x}\right)=0 \]需要推导，但书上没有
允许我们消去方程 (3-40) 中最靠近等号的两项.
\[\begin{align} m n \frac{\partial u_{x}}{\partial t}&=-m n u_{x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(n K T)\\ m n \frac{\partial u_{x}}{\partial t}+m n u_{x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x}&=-\frac{\partial}{\partial x}(n K T) \end{align} \]定义压力为
\[p \equiv n K T \]最后, 我们就得到
\[m n\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial t}+u_{x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x} \]这是通常的压力-梯度力. 加上电磁力, 并推广到三维, 我们得到流体方程为
\[m n\left[\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{u}\right]=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})-\nabla p\tag{3-44} \]我们已经推导出的公式仅是一个特殊情形： \(x\) 方向运动所传递 \(x\) 方向动量, 而且 我们已经假定流体是各向同性的, 所以在 \(y\) 方向和 \(z\) 方向有同样的结果. 但是, 如 \(x\) 方向的运动也可能传递 \(y\) 方向动量. 假定（图 3-3）在 \(x=x_{0}\) 立方体中 \(u_{y}\) 等于 零, 但在两边都是正的, 那么, 当粒子移过平面 \(A\) 和平面 \(B\) 时, 它们带进的正 \(y\) 方 向动量比带出的要多, 流体元就得到 \(y\) 方向的动量. 这种剪切应力(shear stress) 不能用标量 \(p\) 来表示, 而必须由压力张量 \(\boldsymbol{P}\)来给出, 它的分量 \(P_{i j}=m n \overline{v_{i} v_{j}}\) 规定 了运动方向及有关的动量分量. 在一般情况下, \(-\nabla p\) 用一 \(\nabla \cdot \boldsymbol{P}\) 来代替.
在这里, 我们将只给出两种最简单情况的压力张量. 当分布函数是一个各向 同性的麦克斯韦分布时, \(\boldsymbol{P}\) 写成
\(\nabla \cdot \boldsymbol{P}\) 恰好是 \(\nabla p\).
在第 \(1.3\) 节中我们看到, 当磁场存在时, 等离子体能够具有两 个温度 \(T_{\perp}\) 和 \(T_{\parallel }\), 这时, 就会有两个压力 \(p_{\perp}=n k T_{\perp}, p_{\parallel }=n k T_{\parallel }\). 这样, 压力 张量为
\[\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc} p_{\perp} & 0 & 0 \\ 0 & p_{\perp} & 0 \\ 0 & 0 & p_{\parallel } \end{array}\right) \]它的第三行或第三列的坐标是 \(\boldsymbol{B}\) 的方向. 这个张量仍然是对角的, 并且在垂直于 \(B\) 平面显示出各向同性.
在普通流体中, \(P\) 的非对角元通常和黏滞性相联系. 当粒子碰撞时, 它们获 得了上次哑撞处流体速度 \(\boldsymbol{u}\) 方向的平均速度, 而这个动量在下一次碰撞中传递给 另一个流体元. 这样就使得不同点的 \(u\) 趋于相等, 而我们能直观地认为, 对剪切 流动所产生的阻力就是黏滞性. 平均自由程越长, 粒子携带更远处的动量, 黏滞 性就越大.
不理解
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