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作者:互联网

\(a\) 的平均数为 \(m\) 等价于 \(\sum a_i-m=0\)。可以配合其他算法处理一些平均数的最优解问题。

例:问平均数处于 \([p,q)\) 的区间数。

相当于需要处理平均数小于 \(p\) 的数量然后减一下即可。\(b_i=a_i-p\),然后做前缀和 \(s_i=\sum_{j=1}^{i} b_i\),相当于求有多少 \(i<j\) 且 s_i>s_j$,是经典逆序对。

例:序列切成 \(k\) 段,最大化平均数的最小值。

Binary Search 然后转化为 \(s_i=\sum_{j=1}^{i}a_i-p\) 的一个上升子序列问题。

一些序列操作的结论

对于连续三个数,中间取反,两边的加上这个数。

\(A\) 可以到达 \(B\) 当且仅当两者的前缀和集合相同

相邻数一个加一一个减一

\(A\) 可以到达 \(B\) 当且仅当和相等。

处理组合数可以想一下能否用生成函数得到简单的解。

CF1548C 求所有 \(f_x=\sum_{i=1}^{n}\binom{3i}{x}\)。

\[f_x=\sum_{i=1}^{n}\binom{3i}{x}=[x^i]\sum_{i=1}^{n}(1+x)^{3i}=[x^i]\frac{(1+x)^{3n+3}-(1+x)^3}{(1+x)^3-1} \]

直接手动乘除即可。

如果感觉一些东西存在两种复杂度的解,可以尝试根号分治

二进制相关的问题,考虑一些变化是不是发生的不多。

例 一个数不断 and 或者 or 上很多数,最多变化 \(O(\log n)\) 次。

树上有关距离的计数问题,可以考虑跨过的点,或者考虑中点

标签:平均数,Tricks,当且,3i,序列,binom,sum
来源: https://www.cnblogs.com/TetrisCandy/p/15542098.html