粘合映射不是开映射

定义

• 粘合映射 \(p\)：\(p\) 是等价关系诱导出的映射，故而必为满射。

\((X, \tau)\) 是拓扑空间，\(\sim\) 是集合 \(X\) 上的一个等价关系，规定商集 \(X/\sim\) 上的子集族

则 \(\tilde{\tau}\) 是 \(X/\sim\) 上的一个拓扑，称为 \(\tau\) 在 \(\sim\) 下的商拓扑。

换个说法就是 \(X/\sim\) 的所有原像为开集的子集都是开集，这是否说明 \(p\) 是开映射？

答案是并不，为了说明它不是开映射，我们需要找到 \(p\) 把开集映射到非开集的反例。

首先简单分析一下，假设 \(p(U) = V\)，\(U\) 为开集，\(V\) 不为开集。根据 \(\tilde{\tau}\) 的定义，\(p^{-1}(V)\) 不为开集。那么思路来了，只需要取 \(X\) 上闭集 \(A\) 使得 \(p(A)\subset V\) 即可。

同胚映射 \(f\)

同胚 = 双射 + 连续 + 开/闭映射

双射 \(f\) 为开映射，则必是闭映射，因为 \(f(A^C) = (f(A)^C)\)