多元统计分析06：多元正态分布的假设检验(2)
作者：互联网
Chapter 6：多元正态分布的假设检验(2)
一、单个正态总体协方差阵的检验
Part 1：协方差阵为单位阵的检验
设 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 为来自 \(p\) 元正态总体 \(N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 的随机样本，其中 \(\mu\) 和 \(\Sigma>0\) 未知，检验
\[H_0:\Sigma=I_p \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\Sigma\neq I_p \ . \]此时采用似然比检验，似然函数为
\[L(\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{np/2}\left|\Sigma\right|^{n/2}}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(\Sigma^{-1}A\right)-\frac12n\left(\bar{X}-\mu\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)\right\} \ . \]在 \(H_0\) 假设下的极大似然为
\[\max_\mu\,L\left(\mu,I_p\right)=L\left(\bar{X},I_p\right)=(2\pi)^{-np/2}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(A\right)\right\} \ . \]在 \(H_1\) 假设下的极大似然为
\[\max_{\mu,\Sigma>0}L\left(\mu,\Sigma\right)=L\left(\bar{X},\frac1nA\right)=(2\pi)^{-np/2}\left|\frac1nA\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\} \ . \]构造似然比统计量为
\[\lambda_1=\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(A\right)\right\}\left|\frac1nA\right|^{n/2}\exp\left\{\frac{np}{2}\right\} \ . \]当样本容量 \(n\) 充分大时
\[-2\ln\lambda_1\stackrel{a}{\sim}\chi^2\left(\frac{p(p+1)}{2}\right) \ . \]这里需要注意到协方差阵有 \(p(p+1)/2\) 个自由度，这是因为协方差阵的对称性。
Part 2：协方差阵为非单位阵的检验
设 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 为来自 \(p\) 元正态总体 \(N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 的随机样本，其中 \(\mu\) 和 \(\Sigma>0\) 未知，检验
\[H_0:\Sigma=\Sigma_0 \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\Sigma\neq \Sigma_0 \ . \]因为 \(\Sigma_0>0\) ，故存在非退化矩阵 \(D\) ，使得 \(D\Sigma_0D'=I_p\) ，构造
\[Y_{(\alpha)}=DX_{(\alpha)}\sim N_p\left(D\mu,D\Sigma D'\right)\xlongequal{def}N_p\left(\mu^*,\Sigma^*\right) \ . \]此时，检验问题等价于
\[H_0:\Sigma^*=I_p \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\Sigma^* \neq I_p \ . \]仍然采用似然比检验，参考单位阵的情况，构造似然比统计量为
\[\lambda_2=\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(A^*\right)\right\}\left|\frac1nA^*\right|^{n/2}\exp\left\{\frac{np}{2}\right\} \ , \quad \text{where }\ A^*=DAD' \ . \]当样本容量 \(n\) 充分大时
\[-2\ln\lambda_2\stackrel{a}{\sim}\chi^2\left(\frac{p(p+1)}{2}\right) \ . \]Part 3：协方差阵的球性检验
设 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 为来自 \(p\) 元正态总体 \(N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 的随机样本，其中 \(\mu\) 和 \(\Sigma>0\) 未知，检验
\[H_0:\Sigma=\sigma^2\Sigma_0 \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\Sigma\neq\sigma^2\Sigma_0 \ . \]仍然采用似然比检验，似然函数为
\[L(\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{np/2}\left|\Sigma\right|^{n/2}}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(\Sigma^{-1}A\right)-\frac12n\left(\bar{X}-\mu\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)\right\} \ . \]这里 \(\sigma^2\) 是未知参数，当 \(\sigma^2\) 给定时，似然函数 \(L\left(\mu,\sigma^2\Sigma_0\right)\) 在 \(\mu=\bar{X}\) 时取到最大值，即
\[L\left(\bar{X},\sigma^2\Sigma_0\right)=(2\pi\sigma^2)^{-np/2}\left|\Sigma_0\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac1{2\sigma^2}{\rm tr}\left(\Sigma_0^{-1}A\right)\right\} \ . \]下面还要对 \(\sigma^2\) 求解极大似然估计，令
\[\frac{\partial L\left(\bar{X},\sigma^2\Sigma_0\right)}{\partial\sigma^2}=0 \quad \Longrightarrow \quad \hat\sigma^2=\frac{1}{np}{\rm tr}\left(\Sigma_0^{-1}A\right) \ . \]在 \(H_0\) 假设下的极大似然为
\[\max_{\mu,\sigma^2}\,L\left(\mu,\sigma^2\Sigma_0\right)=(2\pi)^{-np/2}\left(\frac{1}{np}{\rm tr}\left(\Sigma_0^{-1}A\right)\right)^{-np/2}\left|\Sigma_0\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\} \]在 \(H_1\) 假设下的极大似然为
\[\max_{\mu,\Sigma>0}L\left(\mu,\Sigma\right)=L\left(\bar{X},\frac1nA\right)=(2\pi)^{-np/2}\left|\frac1nA\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\} \ . \]构造似然比统计量为
\[\lambda_3=\frac{\left|\Sigma_0^{-1}A\right|^{n/2}}{\left[{\rm tr}\left(\Sigma_0^{-1}A\right)/p\right]^{np/2}} \ . \]此时有对数似然比
\[-2\ln\lambda_3=-n\ln\left|\Sigma_0^{-1}A\right|+np\ln\left[{\rm tr}\left(\Sigma_0^{-1}A\right)/p\right] \ . \]当样本容量 \(n\) 充分大时
\[-2\ln\lambda_3\stackrel{a}{\sim}\chi^2\left(\frac{p(p+1)}{2}-1\right) \ . \]这里需要注意自由度和之前相比减少 \(1\) ，是因为原先的参数空间 \(\Theta_0\) 是完全给定的，而这里的 \(\Theta_0\) 中包含一个自由参数 \(\sigma^2\) 。
Part 4：均值向量和协方差阵的联合约束检验
设 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 为来自 \(p\) 元正态总体 \(N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 的随机样本，其中 \(\mu\) 和 \(\Sigma>0\) 未知，检验
\[H_0:\mu=\mu_0,\,\Sigma=\Sigma_0 \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\mu\ \text{ and }\ \Sigma \ \text{ are unconstrained } \ . \]其中 \(\mu_0\) 和 \(\Sigma_0>0\) 是已知的向量和正定矩阵，采用似然比检验，似然函数为
\[L(\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{np/2}\left|\Sigma\right|^{n/2}}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(\Sigma^{-1}A\right)-\frac12n\left(\bar{X}-\mu\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)\right\} \ . \]在 \(H_0\) 和 \(H_1\) 假设下的极大似然为
\[\begin{aligned} &\max_{(\mu,\Sigma)\in\Theta_0}\,L(\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{np/2}\left|\Sigma_0\right|^{n/2}}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(\Sigma_0^{-1}A\right)-\frac12n\left(\bar{X}-\mu_0\right)'\Sigma_0^{-1}\left(\bar{X}-\mu_0\right)\right\} \ . \\ \\ &\max_{(\mu,\Sigma)\in\Theta_1}L\left(\mu,\Sigma\right)=L\left(\bar{X},\frac1nA\right)=(2\pi)^{-np/2}\left|\frac1nA\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\} \ . \end{aligned} \]构造似然比统计量：
\[\lambda_4=\left|\frac1n\Sigma_0^{-1}A\right|^{n/2}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(\Sigma_0^{-1}A\right)-\frac12n\left(\bar{X}-\mu_0\right)'\Sigma_0^{-1}\left(\bar{X}-\mu_0\right)\right\}\exp\left\{\frac{np}{2}\right\} \ . \]计算对数似然比：
\[-2\ln\lambda_4=-n\ln\left|\frac1n\Sigma_0^{-1}A\right|+{\rm tr}\left(\Sigma_0^{-1}A\right)+n\left(\bar{X}-\mu_0\right)'\Sigma_0^{-1}\left(\bar{X}-\mu_0\right)-np \ . \]当样本容量 \(n\) 充分大时
\[-2\ln\lambda_4\stackrel{a}{\sim}\chi^2\left(\frac{p(p+1)}{2}+p\right) \ . \]这里的自由度是均值向量的自由度和协方差阵的自由度之和。
二、多个正态总体的参数检验问题
Part 1：均值向量齐性检验
设 \(X^{(i)}=\left(X_{(1)}^{(i)},X_{(2)}^{(i)},\cdots,X_{(n_i)}^{(i)}\right),\,i=1,2,\cdots,k\) 分别为来自 \(k\) 个正态总体 \(N_p\left(\mu^{(i)},\Sigma_i\right),\,i=1,2\cdots,k\) 的随机样本，已知 \(\Sigma_1=\Sigma_2=\cdots=\Sigma_k\xlongequal{def}\Sigma>0\) ，考虑假设检验问题：
\[H_0:\mu^{(1)}=\mu^{(2)}=\cdots=\mu^{(k)} \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\exist\,i\neq j,\ \text{ s.t. }\ \mu^{(i)}\neq\mu^{(j)} \ . \]这里我们使用多元方差分析进行假设检验，首先给出如下的记号：
\[n=\sum_{i=1}^kn_i \ , \quad \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}X_{(j)}^{(i)} \ , \quad \bar{X}^{(i)}=\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}X_{(j)}^{(i)} \ , \quad i=1,2,\cdots,k \ . \]定义样本总离差阵
\[T=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}\left(X_{(j)}^{(i)}-\bar{X}\right)\left(X_{(j)}^{(i)}-\bar{X}\right)' \ , \]定义组内离差阵
\[A=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}\left(X_{(j)}^{(i)}-\bar{X}^{(i)}\right)\left(X_{(j)}^{(i)}-\bar{X}^{(i)}\right)'=\sum_{i=1}^kA_i \ , \]定义组间离差阵
\[B=\sum_{i=1}^kn_i\left(\bar{X}^{(i)}-\bar{X}\right)\left(\bar{X}^{(i)}-\bar{X}\right)' \ , \]可以证明，有离差阵分解式成立
\[T=A+B \ . \]当原假设成立时，组间离差阵应该比较小，组内离差阵应该很接近总离差阵。故类似于似然比的原理，我们可以构造 \(H_0\) 的检验统计量为
\[\Lambda=\frac{|A|}{|A+B|}=\frac{|A|}{|T|} \ . \]其中每个正态总体的样本离差阵服从 Wishart 分布 \(A_i\sim W_p\left(n_i-1,\Sigma\right),\,i=1,2,\cdots,k\) 且相互独立。由可加性可得
\[A=\sum_{i=1}^kA_i\sim W_p\left(n-k,\Sigma\right) \ . \]在原假设成立的条件下，可以证明 \(T\) 和 \(B\) 的分布为
\[T\sim W_p\left(n-1,\Sigma\right) \ , \quad B\sim W_p\left(k-1,\Sigma\right) \ , \]且 \(B\) 与 \(A\) 相互独立，所以在原假设成立的条件下，检验统计量
\[\Lambda=\frac{|A|}{|A+B|}\sim \Lambda\left(p,n-k,k-1\right) \ , \]这里没有合适的近似分布，所以只能查 Wilks \(\Lambda\) 分布表，得到显著性水平为 \(\alpha\) 的拒绝域为
\[W=\left\{\Lambda<\Lambda_\alpha\left(p,n-k,k-1\right)\right\} \ . \]Part 2：协方差阵齐性检验
设 \(X^{(i)}=\left(X_{(1)}^{(i)},X_{(2)}^{(i)},\cdots,X_{(n_i)}^{(i)}\right),\,i=1,2,\cdots,k\) 分别为来自 \(k\) 个正态总体 \(N_p\left(\mu^{(i)},\Sigma_i\right),\,i=1,2\cdots,k\) 的随机样本，其中 \(\mu^{(i)},\,\Sigma_i,\,i=1,2,\cdots,k\) 均未知，考虑假设检验问题：
\[H_0:\Sigma_1=\Sigma_2=\cdots\Sigma_k\xlongequal{def}\Sigma \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\exist\,i\neq j,\ \text{ s.t. }\ \Sigma_i\neq\Sigma_j\ . \]样本的似然函数为
\[L\left(\mu^{(1)},\cdots,\mu^{(k)},\Sigma_1,\cdots,\Sigma_k\right)=\prod_{i=1}^kL_i\left(\mu^{(i)},\Sigma_i\right) \ . \]在 \(H_1\) 假设下的极大似然为
\[\begin{aligned} \max_{\mu^{(i)},\Sigma_i>0}L\left(\mu^{(1)},\cdots,\mu^{(k)},\Sigma_1,\cdots,\Sigma_k\right)&=\prod_{i=1}^kL_i\left(\bar{X}^{(i)},\frac{1}{n_i}A_i\right) \\ \\ &=\prod_{i=1}^k\left(2\pi\right)^{-n_ip/2}\left|\frac{1}{n_i}A_i\right|^{-n_i/2}\exp\left\{-\frac{n_ip}{2}\right\} \\ \\ &=\left(2\pi\right)^{-np/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\}\prod_{i=1}^k\left|\frac{1}{n_i}A_i\right|^{-n_i/2} \ , \end{aligned} \]在 \(H_0\) 假设下的极大似然为
\[\begin{aligned} \max_{\mu^{(i)},\Sigma>0}L\left(\mu^{(1)},\cdots,\mu^{(k)},\Sigma\right)&=L\left(\bar{X}^{(1)},\cdots,\bar{X}^{(k)},\frac1nA\right) \\ \\ &=\left(2\pi\right)^{-np/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\}\left|\frac{1}{n}A\right|^{-n/2} \ , \end{aligned} \]构造似然比统计量为
\[\begin{aligned} \lambda&=\max_{\mu^{(i)},\Sigma>0}L\left(\mu^{(1)},\cdots,\mu^{(k)},\Sigma\right)\bigg/\max_{\mu^{(i)},\Sigma_i>0}L\left(\mu^{(1)},\cdots,\mu^{(k)},\Sigma_1,\cdots,\Sigma_k\right) \\ \\ &=\left|\frac{1}{n}A\right|^{-n/2} \bigg/ \prod_{i=1}^k\left|\frac{1}{n_i}A_i\right|^{-n_i/2} \end{aligned} \]计算对数似然比
\[-2\ln\lambda=n\ln\left|\frac{1}{n}A\right|-\sum_{i=1}^kn_i\ln\left|\frac{1}{n_i}A_i\right|=\sum_{i=1}^kn_i\ln\left|\frac{n_i}{n}A_i^{-1}A\right| \ . \]该统计量尚无小样本的精确分布，但有渐进分布
\[-2\ln\lambda\stackrel{a}{\sim}\chi^2(m) \ , \quad \text{where }\ m=\frac12p(p+1)(k-1) \ . \]这里原假设的自由参数包括 \(k\) 个多元正态分布的均值向量和它们相等的协方差阵 \(\Sigma\) ，故其参数空间的自由度为 \(kp+p(p+1)/2\) ，而备择假设的自由参数包括 \(k\) 个多元正态分布的均值向量和各自的协方差阵，故其参数空间的自由度为 \(kp+kp(p+1)/2\) 。根据似然比检验的原理，近似分布的自由度为两者之差，即为 \(p(p+1)(k-1)/2\) 。
Part 3：均值向量和协方差阵的齐性检验
设 \(X^{(i)}=\left(X_{(1)}^{(i)},X_{(2)}^{(i)},\cdots,X_{(n_i)}^{(i)}\right),\,i=1,2,\cdots,k\) 分别为来自 \(k\) 个正态总体 \(N_p\left(\mu^{(i)},\Sigma_i\right),\,i=1,2\cdots,k\) 的随机样本，其中 \(\mu^{(i)},\,\Sigma_i,\,i=1,2,\cdots,k\) 均未知，考虑假设检验问题：
\[\begin{aligned} &H_0:\mu^{(1)}=\cdots=\mu^{(k)}\xlongequal{def}\mu \ \text{ and } \ \Sigma_1=\cdots=\Sigma_k\xlongequal{def}\Sigma \ , \\ \\ &H_1:\exist\,i\neq j,\ \text{ s.t. }\ \mu^{(i)}\neq \mu^{(j)} \ \text{ or }\ \Sigma_i\neq\Sigma_j\ . \end{aligned} \]这里我们仍然采用似然比检验，和上一个问题很类似。
在 \(H_1\) 假设下的极大似然为
\[\begin{aligned} \max_{\mu^{(i)},\Sigma_i>0}L\left(\mu^{(1)},\cdots,\mu^{(k)},\Sigma_1,\cdots,\Sigma_k\right)&=\prod_{i=1}^kL_i\left(\bar{X}^{(i)},\frac{1}{n_i}A_i\right) \\ \\ &=\prod_{i=1}^k\left(2\pi\right)^{-n_ip/2}\left|\frac{1}{n_i}A_i\right|^{-n_i/2}\exp\left\{-\frac{n_ip}{2}\right\} \\ \\ &=\left(2\pi\right)^{-np/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\}\prod_{i=1}^k\left|\frac{1}{n_i}A_i\right|^{-n_i/2} \ , \end{aligned} \]在 \(H_0\) 假设下的极大似然为
\[\begin{aligned} \max_{\mu,\Sigma>0}L\left(\mu,\Sigma\right)=L\left(\bar{X},\frac1nT\right)=\left(2\pi\right)^{-np/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\}\left|\frac{1}{n}T\right|^{-n/2} \ , \end{aligned} \]构造似然比统计量为
\[\begin{aligned} \lambda&=\left|\frac{1}{n}T\right|^{-n/2} \bigg/ \prod_{i=1}^k\left|\frac{1}{n_i}A_i\right|^{-n_i/2} \end{aligned} \]计算对数似然比
\[-2\ln\lambda=n\ln\left|\frac{1}{n}T\right|-\sum_{i=1}^kn_i\ln\left|\frac{1}{n_i}A_i\right|=\sum_{i=1}^kn_i\ln\left|\frac{n_i}{n}A_i^{-1}T\right| \ . \]该统计量也无小样本的精确分布，但有渐进分布
\[-2\ln\lambda\stackrel{a}{\sim}\chi^2(m) \ , \quad \text{where }\ m=\frac12p(p+3)(k-1) \ . \]这里原假设的自由参数包括 \(k\) 个多元正态分布的相等的均值向量 \(\mu\) 和相等的协方差阵 \(\Sigma\) ，故其参数空间的自由度为 \(p+p(p+1)/2\) ，而备择假设的自由参数包括 \(k\) 个多元正态分布的均值向量和各自的协方差阵，故其参数空间的自由度为 \(kp+kp(p+1)/2\) 。根据似然比检验的原理，近似分布的自由度为两者之差，即为 \(p(p+3)(k-1)/2\) 。
三、独立性检验
设总体 \(X\sim N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 可以剖分 \(p_1\) 维和 \(p_2\) 维的子向量 \(X^{(1)}\) 和 \(X^{(2)}\) ，其中 \(p_1+p_2=p\) ，满足
\[\begin{bmatrix} X^{(1)} \\ X^{(2)} \end{bmatrix}\sim N_p\left(\begin{bmatrix} \mu^{(1)} \\ \mu^{(2)} \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix}\right) \ , \]这里均值向量 \(\mu\) 和协方差阵 \(\Sigma>0\) 均未知。在正态总体下，检验 \(X^{(1)}\) 和 \(X^{(2)}\) 是否相互独立的问题，等价于检验 \(\Sigma_{12}\) 是否等于 \(O\) 。故考虑如下的假设检验问题
\[H_0:\Sigma_{12}=O \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\Sigma_{12}\neq0 \ . \]设 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 为来自该多元正态总体 \(N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 的简单随机样本，将样本均值向量 \(\bar{X}\) 和样本离差阵 \(A\) 也作相应的剖分
\[X_{(\alpha)}=\begin{bmatrix} X_{(\alpha)}^{(1)} \\ X_{(\alpha)}^{(2)} \end{bmatrix} \ , \quad \bar{X}=\begin{bmatrix} \bar{X}^{(1)} \\ \bar{X}^{(2)} \end{bmatrix} \ , \quad A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \ . \]在 \(H_1\) 假设下的极大似然为
\[\max_{\mu,\Sigma>0}L\left(\mu,\Sigma\right)=L\left(\bar{X},\frac1nA\right)=\left(2\pi\right)^{-np/2}\left|\frac1nA\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\} \ . \]在 \(H_0\) 假设下，由于 \(X_{(\alpha)}^{(1)}\) 和 \(X_{(\alpha)}^{(2)}\) 相互独立，故样本的似然函数为
\[L\left(\mu,\Sigma\right)=L_1\left(\mu^{(1)},\Sigma_{11}\right)L_2\left(\mu^{(2)},\Sigma_{22}\right) \ . \]故在 \(H_0\) 假设下的极大似然为
\[\begin{aligned} \max_{\mu,\Sigma_{12}=0}L\left(\mu,\Sigma\right)&=L_1\left(\bar{X}^{(1)},\frac{1}{n}A_{11}\right)L_2\left(\bar{X}^{(2)},\frac{1}{n}A_{22}\right) \\ \\ &=\prod_{i=1}^2\left(2\pi\right)^{-np_i/2}\left|\frac1nA_{ii}\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac{np_i}{2}\right\} \\ \\ &=\left(2\pi\right)^{-np/2}\left|\frac1nA_{11}\right|^{-n/2}\left|\frac1nA_{22}\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\} \ . \end{aligned} \]似然比统计量为
\[\lambda=\left(\frac{\left|A\right|}{\left|A_{11}\right|\left|A_{22}\right|}\right)^{n/2}=\left(\frac{\left|A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right|}{\left|A_{22}\right|}\right)^{n/2} \ . \]对于该似然比统计量，有小样本和大样本两种情况的处理方法。
(1) 在小样本情况下，将似然比统计量改写为
\[\lambda^{2/n}=\frac{\left|A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right|}{\left|A_{22}\right|} \]现在求 \(\lambda^{2/n}\) 的分布，记
\[W_1=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \ , \quad W_2=A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \ . \]由 \(A\sim W_p\left(n-1,\Sigma\right)\) 和 Wishart 分布的分块性质可知，在 \(H_0\) 假设下
\[W_1\sim W_{p_2}(n-p_1-1,\Sigma_{22}) \ , \quad W_2\sim W_{p_2}(p_1,\Sigma_{22}) \ , \]且 \(W_1\) 与 \(W_2\) 相互独立。再由 Wilks \(\Lambda\) 分布的定义可知，在 \(H_0\) 假设下
\[\lambda^{2/n}=\frac{|W_1|}{|W_1+W_2|}\sim\Lambda\left(p_2,n-p_1-1,p_1\right) \ . \](2) 在大样本情况下，利用对数似然比的近似分布，在 \(H_0\) 假设下，当 \(n\to\infty\) 时，
\[-2\ln\lambda\stackrel{a}{\sim}\chi^2\left(f\right) \ , \quad \text{where }\ f=\frac12\left[p(p+1)-\sum_{i=1}^2p_i(p_i+1)\right]=p_1p_2 \ . \]继续讨论检验统计量的自由度，原假设的自由参数是均值向量 \(\mu\) 和两个协方差阵 \(\Sigma_{11}\) 和 \(\Sigma_{22}\) ，而备择假设的自由参数是均值向量 \(\mu\) 和协方差阵 \(\Sigma\) ，因此两者的自由度之差即为该检验统计量的自由度。
这里还有一个结论，Box 证明了，对于正态总体 \(k\) 个剖分的独立性检验，对应的似然比统计量为
\[\lambda=\left(\frac{\left|A\right|}{\left|A_{11}\right|\left|A_{22}\right|\cdots|A_{kk}|}\right)^{n/2}\xlongequal{def}V^{n/2} \ . \]在 \(H_0\) 假设下，当 \(n\to\infty\) 时，
\[-b\ln V\stackrel{a}{\sim}\chi^2(f) \ , \]其中
\[b=n-\frac32-\frac{p^3-\sum_{i=1}^kp_i^3}{3\left(p^2-\sum_{i=1}^kp_i^2\right)} \ , \quad f=\frac12\left[p(p+1)-\sum_{i=1}^kp_i(p_i+1)\right]\ . \]这个结论给出的近似分布更加精确，且具有一般性。
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