快速傅里叶变换(FFT) 学习笔记

背景

据说是高斯发明的

考虑从六年级开始学的多项式相乘,需要将所有项相乘并打开,时间复杂度\(O(n^2)\).FFT能在\(O(nlogn)\)时间复杂度内解决这一问题.由于整数可以被拆成系数与进制幂之积的和,所以大整数乘法也可以用FFT加速.

表示法

一种显然的加速方式:在学习拉格朗日插值的过程中我们已经发现,n+1个点可以确定一个n次的多项式.所以两个n次多项式相乘可以通过取n+1次值,再把值乘起来的方式实现.显然有正确性.这样用n+1个点表示n次多项式的方法为点值表示法.

单位复根

现在考虑如何快速将系数表示法转化为点值表示法.我们在快速幂中已经学习了相关思想,即二进制拆分+分治/倍增.首先发现计算乘积非常浪费时间,如果能找到相乘始终为定制的数就可以加速这一过程.于是在复平面上选取单位圆,使复数 \(\omega\) 满足 \(\omega^k=1\) ,这样的复数称为复根(实际上是k等分圆周).又容易发现,对于n等分圆周产生的n个复根,只要知道第一个就可以将其他复根表示成它的幂次.我们用\(\omega_i^j\)表示i等分圆周产生的第j个复根,显然有以下性质:(图:OI wiki)

\[\omega^k_n=\omega^{k\%n}_n\\ \omega^0_n=1\\ \omega^n_n=1\\ \omega^j_n*\omega^k_n=\omega^{j+k}_n\\ \omega^{2k}_{2n}=\omega^k_n\\ \omega^{k+n}_{2n}=-\omega^{k}_{2n} \]

快速傅里叶变换

将一个多项式奇偶分开,为了对称先将其补成\(2^k\)项.如:

\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \]

奇偶分组可得:

\[f(x)=(a_0+a_2x^2)+(a_1x+a_3x^3)\\ =(a_0+a_2x^2)+x(a_1+a_3x^2) \]

设新函数\(G(x)\) , \(H(x)\)

\[G(x)=(a_0+a_2x)\\ H(x)=(a_1+a_3x) \]

\(f(x)\)表示为:

\[f(x)=G(x^2)+xH(x^2) \]

代入单位复根\(\omega^k_n\):

\[f(\omega^k_n)=G((\omega^k_n)^2)+\omega^k_nH((\omega^k_n)^2)\\ =G(\omega^{2k}_n)+\omega^k_nH(\omega^{2k}_n)\\ =G(\omega^{k}_{n/2})+\omega^k_nH(\omega^{k}_{n/2})\\ \]

代入\(\omega_n^{k+n/2}\):

\[f(\omega_n^{k+n/2})=G(\omega^{k}_{n/2})-\omega^k_nH(\omega^{k}_{n/2})\\ \]

发现由(16)(17)两个式子套上\(\operatorname{DFT}\),可以将\(\operatorname{DFT}\)中的n逐步化为1,从而求出结果.显然对于每个k分别代入即可.这样就在\(O(nlogn)\)​的时间内求出了这个n-1次多项式的n组根(这里的n指的是补齐项之后的项数).

此外也可以将递归分治改为倍增,需要用到位逆序置换.

标签：nH,3x,复根,FFT,2x,笔记,傅里叶,多项式,omega
来源： https://www.cnblogs.com/KinuhataSaiai/p/15519049.html