组合数学（1）：斯特林数

斯特林数分为第一类斯特林数和第二类斯特林数。

第一类斯特林数：将 \(p\) 个球排列成 \(k\) 个非空的圆排列的方案数，两个圆排列之间没有顺序关系，记作 \(s(p,k)\)
第二类斯特林数：将 \(p\) 个球放到 \(k\) 个相同的盒子的方案数，记作 \(S(p,k)\)。

第一类斯特林数 \(s(p,k)\) 的求解方法：
a. 当前第 \(p\) 个球放到前 \(p-1\) 个球构成的 \(k\) 个圆排列中的一个，每个圆排列以顺时针为正方向，根据第 \(p\) 个球正方向上第一个遇到的球有 \(p-1\) 种，有 \((p-1)\cdot s(p-1,k)\) 种方案。
b. 当前第 \(p\) 个球单独成圆，方案就是 \(s(p-1,k-1)\) 种。
综上，\(s(p,k)=s(p-1,k-1)+(p-1)\cdot s(p-1,k)\)。

第二类斯特林数 \(S(p,k)\) 的求解方法：
a. 当前第 \(p\) 个球放到前 \(p-1\) 个球构成的 \(k\) 个盒子中的一个，根据第 \(p\) 个球放进的盒子有 \(k\) 种，有 \(k\cdot S(p-1,k)\) 种方案。
b. 当前第 \(p\) 个球单独成盒，方案就是 \(S(p-1,k-1)\) 种。
综上，\(S(p,k)=S(p-1,k-1)+k\cdot S(p-1,k)\)。

【例题】

那么实质就是枚举 \(k\) 并求 \(s(n,k)\) 之和。

标签：第二类,方案,组合,斯特林,cdot,数学,第一类,个球
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