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数字信号处理学习笔记[0] 连续信号的频谱和傅氏变换

作者:互联网

目录

绪论

  1. Q: 举例说明“信号是携带信息的一元或多元函数”
    A: 如声音、心电图、气象温度记录是一元函数\(f(t)\),图像是二元函数\(f(x,y)\),电影是三元函数\(f(x,y,t)\),地下构造是三元函数\(f(x,y,z)\).
  2. Q: 如何理解“数字信号处理要灵活得多,应用也要广泛得多”?
    A: 信号处理分为模拟信号处理(自变量为连续的)和数字信号处理(例:计算机中数字信号自变量和取值都是离散的,信号取值为有限长二进制数。即:经过抽样和量化)。
    模拟信号处理通过电子线路实现,数字信号处理通过计算机实现。计算机相比电子线路更灵活,更通用。

1 连续信号的频谱和傅氏变换

1.1 有限区间上连续信号的傅氏级数和离散频谱

  1. Q: 频率,振幅,相位和频谱有什么关系?
    A: 频谱中的频率是已知(指定)的(一系列可数或不可数个值),而振幅和相位在此条件下就由原始的信号决定,这些振幅和相位称为信号的频谱。
  2. Q: 两种傅氏级数展开式
    \(x(t)=b_0+\sum_{n=1}^\infty(a_nsin2\pi nf_0t+b_ncos2\pi nf_0t)\)
    \(x(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty A_nsin(2\pi nf_0t+\phi_n)=\sum_{n=0}^nA_nsin(2\pi nf_0t+\phi_n)\)分别如何转换成工程中常见的复数形式?举例说明复数形式的傅氏级数仍有丰富物理意义。
    A: 工程中使用复数形式傅氏级数往往更方便。

\[x(t)=b_0+\sum_{n=1}^\infty(a_nsin 2\pi nf_0t+b_ncos 2\pi nf_0t)\\ =b_0+\sum(a_n\frac{-i(e^{i2\pi nf_0t}-e^{-i2\pi nf_0t})}2+b_n\frac{e^{i2\pi nf_0t}+e^{-i2\pi nf_0t}}2)\\ :=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i2\pi nf_0 t}\]

\[x(t)=\sum_{n=0}^nA_nsin(2\pi nf_0t+\phi_n)\\ =\sum \frac {-iA_n(e^{i\phi_n}e^{i2\pi nf_0t}-e^{-i\phi_n}e^{-i2\pi nf_0t})}2\\ :=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i2\pi nf_0 t}\]

例:两边求辐角不难发现\(Arg c_n=\phi_n-\pi/2,n>0\).
关于\(c_n\)模长,以及关于\(n\le 0\)的情况对应的公式略。这些都体现了\(c_n\)的物理意义。

  1. Q: 背诵\(c_m\)的表达式,并解说被积函数指数处的负号。
    A: \(c_m = \frac 1T\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi mf_0t}dt\),负号可以理解成
    为了留下\(e^{i2\pi mf_0t}\)项而两边同乘\(e^{-i2\pi mf_0t}\),这样左侧各项只有\(c_m\)变为常数,其余都是周期函数。积分后左侧只剩下\(c_m\). 此时右侧就是\(x(t)e^{-i2\pi nf_0t}\)积分。
    :\(\int_0^T e^{i2\pi (n-m)f_0t}dt=\delta_{nm}T\),\(\delta_{nm}\)是克罗内克记号。
  2. Q: 对于傅里叶展开,我们考察以下模式化的过程。
    1. 写出两个变换式。
      \(x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i2\pi nf_0 t}\) (1)
      \(c_n=\frac 1T \int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi nf_0 t}dt\) (2)
      问:如果考察的是傅里叶变换,这里写出的两个变换式就应该是()
    2. 换两处变量名。
      首先,(1)中换变量名\(c_n\)为\(d_n\),表示反设同样的\(x(t)\)对应了两组不同的展开式系数\(\{c_n\},\{d_n\}\)。
      其次,(2)中换变量名\(n\)为\(m\),避免在代入时出现内层变量遮蔽(Shadow)外层同名变量。
      得到:
      \(x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}d_ne^{i2\pi nf_0 t}\) (1)
      \(c_m=\frac 1T \int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-i2\pi mf_0 t}dt\) (2)
    3. 将()代入()的()侧。
    4. 化简(其中需要交换())。从而说明了()。
      这一套模式化步骤的意义是什么?

A: \(X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-i2\pi ft}dt,x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{i2\pi ft}df\)
(1),(2),右
积分和求和顺序(也可称为:积分顺序。因为求和可以看成特殊的积分),\(\forall n,d_n=c_n\)
意义:如果\(x(t)\)可以表达为\(\sum d_ne^{i2\pi nf_0 t}\),则\(d_n\)只可能是\(c_n\),也就是从信号\(x(t)\)可唯一确定展开式系数\(c_n\).

  1. Q: 刚刚证了一一对应的一边,现在想证一一对应的另一边。模仿以上步骤,把(2)代入(1)的右侧,过程中会有什么麻烦?
    A: \(\sum e^{i2\pi nf_0 s}\frac 1T \int y(t)e^{-i2\pi nf_0 t}dt=\frac 1T\int\sum y(t)e^{i2\pi nf_0 (s-t)}dt\),这难以进行初等的化简。之后我们会知道使用狄拉克\(\delta\)函数可以处理。
    注:傅里叶变换与傅里叶逆变换间按此手法代入,也将得到类似的难以初等化简的形式。
  2. Q: 设\(x(t)\)在有限区间上连续或者只有()个()类间断点。只有有限个极大、极小点。则傅氏级数()(收敛类型)收敛到()。
    A: 有限,一,点点,左极限和右极限平均值
    (注:区间边界处认为“循环”地看“左、右”)
  3. Q: 如何理解“复杂波和简单波是相对的”?
    A: 提示:选定方波是简单波,把其它波分解成方波的叠加(线性组合),称为沃希函数分析。
    注:然而理论和实践表明傅里叶展开仍然是最重要的。

1.2 傅氏变换,连续信号与频谱

  1. Q: 定义(连续)振幅谱。
    A: 对于\(\mathbb R\)上连续函数\(x\),有傅里叶变换和逆傅里叶变换:\(X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-i2\pi ft}dt,x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{i2\pi ft}df\). \(X(f)\)是复函数,表示成\(X(f)=A(f)e^{i\Phi(f)}\),其中\(A(f)=|X(f)|\)就是\(x(t)\)的振幅谱。
  2. Q: 为什么要采用频率\(f\)而不是角频率\(\omega\)书写公式?
    A: 这时正、逆傅里叶变换是对称的,且前面没有系数\(1/\sqrt {2\pi}\). 这比较美观好记。
    注:当然,“代价”是指数处是\(\pm i2\pi ft\)而不是简单的\(\pm i\omega t\).
  3. Q: 这里正、逆傅里叶变换的正负号是一条人为约定。该约定和上一节傅里叶展开的公式有什么联系?
    A: 对于傅里叶展开,我们理解为把一个信号展开成一系列信号的和。这里我们比较自然地认为不带负号,即系数\(c_n\)对应\(e^{i2\pi nf_0 t}\)这一项。
    在傅里叶变换中,把“积分”看成扩展了的和,与傅里叶展开做类比,就可以帮助记忆\(x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{i2\pi ft}df\)没有负号。(当然,相应另一边就有负号)
  4. Q: 实偶函数的频谱有何性质?
    A: 恒为实数(相位谱恒为0),且为偶函数。
    注:共轭性质:\(x(t)\)频谱为\(X(f)\)则\(\bar x(t)\)频谱为\(\bar X(-f)\). 当\(x(t)\)为实信号有\(X(f)=\bar X(-f)\),本问是上述命题的特殊情况。
  5. Q: 哪些频谱和一些概率分布的特征函数对应,从而易于记忆?具体如何建立两者的联系?
    A: 方波对应均匀分布,钟形波对应正态分布,单边指数衰减波对应指数分布,双边指数衰减波对应拉普拉斯分布。
    具体地,例如\((2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}\)特征函数\(e^{-t^2/2}\),即

\[e^{-t^2/2}=\int_{-\infty}^{+\infty} (2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}e^{itx}dx\\ \int_{-\infty}^{+\infty}(2\pi)^{-1/2}e^{-4\pi^2(\frac x{-2\pi})^2/2}e^{-i2\pi t(\frac x{-2\pi})}d(\frac x{-2\pi}) \cdot (-2\pi)\\ =\int_{+\infty}^{-\infty}(2\pi)^{-1/2}e^{-(-2\pi x^*)^2/2}e^{-i2\pi tx^*}dx^*\cdot (-2\pi)\\ =\int_{-\infty}^{+\infty}(2\pi)^{-1/2}e^{-(-2\pi x^*)^2/2}e^{-i2\pi tx^*}dx^*\cdot (2\pi)\]

即\((2\pi)^{-1/2}e^{-(2\pi t)^2/2}\)的频谱是\(e^{-f^2/2}/(2\pi)\).
总结:概率分布的自变量\(x\)变成\(-2\pi t\),特征函数\(f(t)\)把自变量从\(t\)变为\(f\)后除以\(2\pi\).
拉普拉斯分布\(e^{-|x|}/2\)的特征函数\(1/(1+t^2)\),故双边指数衰减波\(e^{-|2\pi t|}/2\)的频谱\(1/(2\pi(1+f^2))\).
\(-\pi\)到\(\pi\)均匀分布的特征函数\(\frac{e^{i\pi t}-e^{-i\pi t}}{2\pi it}=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}\),故只有\(-1/2\)到\(1/2\)值为\(1/2\pi\)的信号的频谱\(\frac{sin(\pi f)}{2\pi \cdot\pi f}\).
注:特征函数在0处总为1,这可以用来帮助记忆频谱。
注:对于高斯,也可以记忆\(e^{-\pi t^2}\)对应\(e^{-\pi f^2}.\)

  1. Q: 如何利用方波的频谱记忆三角波的频谱?
    A: 方波和方波的卷积是三角波(回忆:考虑两个独立同分布的\(-1/2\)到\(1/2\)的均匀分布的随机变量和),就容易记忆\((-1,0),(0,1),(1,0)\)三点构成三角形对应的三角波的频谱是\(sinc^2(f):=sin^2(\pi f)/(\pi f)^2\).
    注:对于围成面积1的方波,卷积后得到围成面积1的三角波,频谱\(sinc\)做平方,这一事实可以和概率分布的性质进行联系。(概率分布具有归一性,且独立同分布变量和的分布的特征函数等于特征函数乘积)
    注:\(sinc\)函数有多种定义。此处的定义\(sinc(x)=sin\pi x/\pi x\)有个好处:只看整数处的取值,你发现了什么?

1.2.3 频谱的基本性质

  1. Q: 为什么在工程实际中只需要知道\(f\ge 0\)时的频谱?
    A: 对于实信号,容易证明\(X(f)=\bar X(-f)\).
  2. Q: 本书定义中的时移定理随机变量加常数的特征函数有何联系和区别?
    A: 提示:特征函数相当于本书的逆傅里叶变换。(因此下面可以看到相差负号)
    所以:时移延迟\(t_0\)时(也就是考虑\(x(t-t_0)\),相当于概率分布整体加了一个常数\(t_0\)),本书这边频谱乘以\(e^{-i2\pi ft_0}\);概率论中随机变量加常数\(\mu\)时特征函数却乘以了\(e^{i\mu t}\). 两者相差负号。
  3. Q: 把信号\(x(t)\)当成频谱时(即:直接改变横坐标标注),如何计算这样的频谱对应的信号?
    A: \(x(t)\)的频谱是\(X(f)\),则\(X(-t)\)的频谱是\(x(f)\).
    注:可以减轻记忆负担,只要记住多出了一个负号,即可。(根据翻转定理,你也可以记忆\(X(t)\)的频谱是\(x(-f)\))
  4. Q: 综合时移傅氏变换的对称性(即前述1.和2.),可以有什么结论?
    A: 频移定理。已知\(X(-t)\)频谱是\(x(f)\),现对\(X(-t)\)做时移延迟\(c\),得\(Y(-t):=X(-t+c)=X(-(t-c))\)的频谱是\(x(f)e^{-2\pi ifc}:=y(f)\).
    \(Y(-t)\)频谱是\(y(f)\),根据2.,得\(y(t)=x(t)e^{-2\pi itc}\)的频谱就是\(Y(f)=X(f+c)\).
    注:通过线性组合得到正、余弦的情形。
    注:频移和时移相差正负号。时移中,括号内\(-t_0\)对应负;频移中,括号内\(+c\)对应负。结合1.,这里的一种记忆方式是记忆频移(逆傅里叶变换)对应概率论中求特征函数。因此频移中的\(X(f+c)\)对应随机变量\(-c\),进而对应\(e\)指数处负。
  5. Q: 利用均匀分布的特征函数记忆理想带通频谱及其信号。
    A: 均匀分布\(p(x)=1/(2\delta)(当|x-x_0|<\delta)\)的特征函数\(e^{itx_0}\frac{e^{it\delta}-e^{-it\delta}}{2\delta it}=e^{itx_0}sin(t\delta)/\delta t\)(\(t=0\)处连续)
    则利用上一节4.,\(x\)变\(2\pi f\),特征函数除以\(2\pi\)(注意这里是由频谱求信号,故相比之前\(x\)变\(-2\pi f\)相差负号
    得到\(S(f)=1/(2\delta)(当|2\pi f-x_0|<\delta)\)的信号为\(e^{itx_0}sin(t\delta)/2\pi \delta t\).
    即\(S(f)=1(当|f-x_0/2\pi|<\delta/2\pi)\)的信号为\(e^{itx_0}sin(t\delta)/\pi t\).
    即\(S(f)=1(当|f\pm x_0/2\pi|<\delta/2\pi)\)的信号为\(2cos(tx_0)sin(t\delta)/\pi t\).
    注意理想带通可以通过绝对值相同的正频率和负频率成分。
  6. Q: 随机变量做线性变换后的特征函数和本书“时间展缩定理”有何联系和区别?
    A: \(x(at)\)相当于时间加快\(a\)倍,也相当于随机变量乘以\(1/a\),频谱结果为\(\frac 1{|a|}X(f/a)\),其中\(|a|\)相当于变换的“雅可比行列式”。
  7. Q: 解释时移定理、时间展缩定理表达式的直观物理含义。
    A: (仅供参考)时移定理:频谱辐角相比变化前,变化了常数值\(-2\pi ft_0\),那么给定时间\(t\)时,应该考察信号图像上原来考察点左侧\(t_0\)之处的点(原来考察\(x(t)\)的值,现在考察\(x(t-t_0)\)的值)。相当于信号图像右移\(t_0\).
    时间展缩定理:时域和频域直观上互为“倒数”关系。时域变为\(x(at)\)相当于时间尺度加快,那么占据的频率自然更高,且频率范围大小也更大。(例如1kHz-2kHz变为2kHz-4kHz)
    但是,如果简单只把频谱做拉伸,那么又会使得振幅错误地成倍数放大。所以要把振幅缩回去

实际应用举例

  1. Q: 为什么要熟记方波、三角波、钟形波频谱?
    A: 方波可用于时钟信号,截断等。三角波可用于扫描等。钟形波可用于“在时域和频域上同时作用”等。它们在实际工程中有广泛应用。
  2. Q: 时移定理的一个应用:两张图中有一个物体移位了,试图检测位移大小。实际工程相比理论上时移定理的使用可能出现什么麻烦?
    A: 例如inside-out, outside-in问题,无限和有限区别,采样和量化,噪声和回归,等等。

习题

  1. Q: 对于常用积分公式\(\int_a^b e^{-i2\pi (n-m)f_0 t}dt=\frac{e^{-i2\pi (n-m)f_0 b}-e^{-i2\pi (n-m)f_0 a}}{-i2\pi (n-m)f_0}\),有什么需要注意的事项?
    A: 如:要讨论\(n=m\)的情况。最后汇总结果也要单独检查。
    特别地,\(m=0\)时要讨论\(n=0\)的情况。
  2. Q: 时域、频域微分定理中的正负号从何而来?
    A: 例如时域微分时,频域乘以\(2\pi if\),这是由于\(x(t)=\cdots\)式子中右侧指数为正,故两边求导时,也得到正号。
  3. Q: 公式定律的“逆用”始终是各类考试的重点。试对微分定理逆用和“用频谱求积分”做出说明。
    A: 微分定理逆用:乘以\(t^n\)可以对应于另一个域的微分和数乘。
    “用频谱求积分”:平时是用积分求频谱。而在已知某信号频谱时,可以求某些积分。
    这一般通过对称定理实现。例如方波频谱为\(sinc\),但\(sinc\)积分不好求,此时利用对称定理,用\(sinc\)的频谱就是方波就可能求。

标签:频谱,infty,傅氏,0t,信号处理,i2,nf,pi
来源: https://www.cnblogs.com/minor-second/p/15516118.html