法雷 级数

法雷级数

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法雷级数

所有分母小于等于n，并且值介于0到1之间的既约分数（分子分母互素）从小到大排列所组成的序列 。

即 Fn = { a / b, gcd(a,b) = 1 && 0<=a<=b<=n}；

如下：

F1 = { 0 / 1, 1 / 1 }；
F2 = { 0 / 1, 1 / 2, 1 / 1 }；
F3 = { 0 / 1, 1 / 3, 1 / 2, 2 / 3, 1 / 1 }；

那么一般情况下，我们都想要知道，Fn有多少个？

我们知道Fn中，相对于Fn-1，增加的就是以n为分母的元素。那么，增加的个数就是从1-n互素的个数。也就是欧拉函数。

这里我们设F(n)就是Fn的个数，E(n)为欧拉函数的值。那么结论就是：

F(n)=F(n-1)+E(n)；

性质：

  第一，如果a / b, a’ / b’是Fn中相邻的两项，则有abs(a * b’ – b * a’) = 1。

  第二，如果a / b, a’’ / b’’, a’ / b’是Fn中的相邻三项，则有( a + a’ ) / ( b + b’ ) = a’’ / b’’。
             特别地，如果a’’ / b’’是新添加的，即a’’ / b’’不属于F(n-1)，则有a + a’ = a’’ && b + b’ = b’。

原文出处

标签：级数,法雷,个数,互素,分母,Fn
来源： https://blog.csdn.net/weixin_51652698/article/details/121151154