第5章 图论

一、图的基本概念

1.图的同构定义

设G=(V,E)和G’=(V’,E’)是两个图，如果存在V到V’的一一对应f使得
u w ∈ E ( u w → ∈ E ) ⇔ f ( u ) f ( w ) ∈ E ′ ( f ( u ) f ( w ) → ∈ E ′ ) u w \in E(\overrightarrow{uw} \in E) \Leftrightarrow f(u)f(w) \in E'(\overrightarrow{f(u) f(w)} \in E^{\prime}) uw∈E(uw ∈E)⇔f(u)f(w)∈E′(f(u)f(w) ​∈E′)
则称G与G’同构,并且称f是称G到G’的同构映射

完全图 K 5 K_5 K5​,相互同构的图G和H

二、通路、回路与连通性

1.通路与回路

简单通路:边全不相同的通路称为简单通路
基本通路:结点全不相同的通路称为基本通路
回路:起点和终点相同的通路称为回路
简单回路:边全不相同的回路称为简单回路
基本回路:结点全不相同的回路称为基本回路（除去起点和终点）

2.连通性（若非平凡无向图G的任两点间都是可达的,则称G是连通图,否则称G是不连通图）

若非平凡有向图G忽略边方向后得到的无向图是连通的,则称G是连通的,否则称G是不连通的
设G是非平凡有向图，若G的任两点间都是相互可达的,则称G是强连通的
若G的任两点间至少一向可达的,则称G是单向连通的
若G忽略边方向得到的无向图连通,则称G是弱连通的
对有向图, 强 连 通 ⊂ 单 向 连 通 ⊂ 连 通 = 弱 连 通 强连通 \subset 单向连通 \subset 连通=弱连通 强连通⊂单向连通⊂连通=弱连通

三、图的矩阵表示

1.矩阵乘法

设A为 m × p m \times p m×p的矩阵，B为 p × n p \times n p×n的矩阵，那么称 m × n m \times n m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为
( A B ) i j = ∑ k = 1 p a i k b k j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i p b p j (A B)_{i j}=\sum_{k=1}^{p} a_{i k} b_{k j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i p} b_{p j} (AB)ij​=∑k=1p​aik​bkj​=ai1​b1j​+ai2​b2j​+⋯+aip​bpj​
A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 ] A=\left[\begin{array}{lll} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \end{array}\right] A=[a1,1​a2,1​​a1,2​a2,2​​a1,3​a2,3​​]， B = [ b 1 , 1 b 1 , 2 b 2 , 1 b 2 , 2 b 3 , 1 b 3 , 2 ] B=\left[\begin{array}{ll} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \\ b_{3,1} & b_{3,2} \end{array}\right] B=⎣⎡​b1,1​b2,1​b3,1​​b1,2​b2,2​b3,2​​⎦⎤​
C = A B = [ a 1 , 1 b 1 , 1 + a 1 , 2 b 2 , 1 + a 1 , 3 b 3 , 1 , a 1 , 1 b 1 , 2 + a 1 , 2 b 2 , 2 + a 1 , 3 b 3 , 2 a 2 , 1 b 1 , 1 + a 2 , 2 b 2 , 1 + a 2 , 3 b 5 , 1 , a 2 , 1 b 1 , 2 + a 2 , 2 b 2 , 2 + a 2 , 3 b 3 , 2 ] C=A B=\left[\begin{array}{ll} a_{1,1} b_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{1,3} b_{3,1}, & a_{1,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,2}+a_{1,3} b_{3,2} \\ a_{2,1} b_{1,1}+a_{2,2} b_{2,1}+a_{2,3} b_{5,1}, & a_{2,1} b_{1,2}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{2,3} b_{3,2} \end{array}\right] C=AB=[a1,1​b1,1​+a1,2​b2,1​+a1,3​b3,1​,a2,1​b1,1​+a2,2​b2,1​+a2,3​b5,1​,​a1,1​b1,2​+a1,2​b2,2​+a1,3​b3,2​a2,1​b1,2​+a2,2​b2,2​+a2,3​b3,2​​]

例 图G的邻接矩阵分别如下

A = [ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 ] A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00111​00001​10010​10101​01001​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

(1) 求 A 2 A^2 A2， A 3 A^3 A3

A 2 = [ 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 2 0 2 1 2 2 2 ] A^2=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix} A2=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​21112​01001​10212​11122​01002​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

A 3 = [ 2 0 3 3 0 2 1 2 2 2 3 0 2 3 0 3 0 3 2 0 6 2 4 6 3 ] A^3=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 4 & 6 & 3 \end{bmatrix} A3=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​22336​01002​32234​32326​02003​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

(2) G内列出每两个结点间的距离（求最短）

若两个结点不可达，则其之间的距离为无穷

(3) 列出G中所有的基本回路

131，141，1431，1341
252
313，343，3143，3413
414，434，4134，4314
55，525

四、欧拉回路基本概念

1.定义

如果图G（有向图或者无向图）中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的通路称作欧拉通路。
如果图G中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的回路称作欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

2. 定理及推论

欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。
无向图G存在欧拉通路的充要条件是：
G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。

2.1 推论1

当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。
当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。
G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。
有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。

2.2 推论2

当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。

3.欧拉通路回路存在的判断

根据定理和推论，我们可以很好的找到欧拉通路回路的判断方法，定理和推论是来自离散数学的内容，这里就给出简明的判断方法：

3.1 判断欧拉通路是否存在的方法

有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。
无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

3.2 判断欧拉回路是否存在的方法

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。
无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

4.欧拉回路的应用

A.哥尼斯堡七桥问题
B.一笔画问题
C.旋转鼓轮的设计

标签：图论,通路,入度,连通,回路,顶点,欧拉
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