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CINTA四:群、子群

作者:互联网

请完成以下证明题:

 

3.证明命题6.6

(1)因为 a\inG,G是群,所以存在 a^{-1}\inG,有 aa^{-1}=e

ba=ca,两边右乘a^{-1}

 \Rightarrowaa^{-1} =c aa^{-1} 

\Rightarrowbe=ce,因为be=b,ce=c,所以,b=e

(2) 因为 a\inG,G是群,所以存在 a^{-1}\inG,有 a^{-1}a=e

 ab=ac,两边左乘a^{-1}

a^{-1}ab=a^{-1}ac  \Rightarrow  eb=ec  \Rightarrow  b=c

由(1)(2)可知,命题6.6成立


4、证明命题6.7

(1)任意 m、n \in\mathbb{Z},设 a1=g^{m},b1=g^{n}

因为前提为任意 a,b\in 群G,所以g^{m}g^{n}\inG  

 \Rightarrowg^{m}g^{n}\inG\Rightarrow g^{m+n} \inG

所以g^{m}g^{n}=g^{m+n}

(2) 任意 m、n \in\mathbb{Z}(g^{m})^{n}等于n个g^{m}相乘,将a=g^{m}

因为a \inG ,所以 aa...a(n个a) \inG  ,b=aa...a(n个a)=g^{mn}

所以(g^{m})^{n}=g^{mn}

(3) (h^{-1}g^{-1})^{n}的逆元为(h^{-1}g^{-1})^{-n}

而 h^{-1}g^{-1}的逆元为 gh ,n个h^{-1}g^{-1}相乘,即(h^{-1}g^{-1})^{n}

 所以其逆元gh也n个相乘,即(gh)^{n}

所以 (gh)^{n}=(h^{-1}g^{-1})^{-n}


5、 把g从G中抽出,直至抽剩两个数,其中为g1,和g1的逆元

不存在g=e,所以g*g=e


   6、证明命题6.8

因为H是G的子群,H也是阿贝尔群,任意 a、b \in H

因为 b \in H,所以在H中存在b的逆元 b^{-1},即b^{-1}\in H

又因为 a \in H、  b^{-1}\in H,所以 a b^{-1}\in H ( 封闭性) 


7.

(1)证明一:

g_{0}g_{1}...g_{n} 看成一个整体 g,g的逆元由 g^{-1} 表示

即  (g_{0}g_{1}...g_{n})^{-1} =g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1},由命题6.3可知

所以g_{0}g_{1}...g_{n} 的逆元为  g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}

 

(2)证明二:

假设 g_{0}g_{1}...g_{n} 的逆元为  g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1} 

即(g_{0}g_{1}...g_{n})*(g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1})是否等于单位元 e 

 (g_{0}g_{1}...g_{n})*(g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1} ) = ( g_{0}g_{1}...g_{n-1})*(g_{n}g_{n}^{-1})*(g_{n-1}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1})

                                                     =(g_{0}g_{1}...g_{n-1})*(g_{n-1}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1})

 以此类推,原式=e

所以假设成立, g_{0}g_{1}...g_{n} 的逆元为  g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1} 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

标签:所以,命题,相乘,逆元,子群,因为,任意,CINTA
来源: https://blog.csdn.net/qq_52489160/article/details/120979590