微积分(A)随缘一题[7]

(1)

设 \(f(x)=|x|\)，则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 点连续

且 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{|x|-|-x|}{x}=0\) 存在

因为 \(f_+'(x)=1,f'_-(x)=-1\)，所以 \(f'(x)\) 不存在

所以 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处（不一定）可导

(2)

设 \(\lim_{x \to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=A\)

则 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x \to 0} 2\frac{f(2x)-f(0)}{2x}-\frac{f(x)-f(0)}{x}=2\left(\lim_{x \to 0}\frac{f(2x)-f(0)}{2x}\right)-\left(\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\right)=A\)

所以 \(f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=A\) 存在

所以 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导

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