统计功效计算
作者：互联网
样本 x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,\dots,x_n x1,x2,…,xn来自正态分布 N ( μ x , σ x 2 ) N(\mu_x,\sigma_x^2) N(μx,σx2),样本 y 1 , y 2 , … , y m y_1,y_2,\dots,y_m y1,y2,…,ym来自正态分布 N ( μ y , σ y 2 ) N(\mu_y,\sigma_y^2) N(μy,σy2)。
检验假设： H 0 : μ x = μ y , H 1 : μ x < μ y H_0 :\mu_x = \mu_y,H_1:\mu_x < \mu_y H0:μx=μy,H1:μx<μy
正常情况下会构造统计量 x ‾ − y ‾ s x 2 n + s y 2 m \frac {\overline x - \overline y} {\sqrt{{s_x^2 \over n}+{s_y^2 \over m}}} nsx2+msy2 x−y,当样本量足够大时，在原假设成立的情况下近似服从分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),也就是标准正态分布。
简单介绍一下两类错误：
- H0为真但由于随机性使样本观测值落在了拒绝域中，从而拒绝原假设H0，这种错误称为第一类错误，也称为α错误。（拒真）
- H0不为真，但由于随机性使样本观测值落入接受域中，从而接受假设H0，这种错误称为第二类错误，也称为β错误。（存伪）
先推导一下第二类错误的计算公式，以单边检验为例：
β
=
P
(
x
‾
−
y
‾
s
x
2
n
+
s
y
2
m
≤
Z
1
−
α
∣
H
0
为
假
)
=
P
(
x
‾
−
y
‾
−
δ
s
x
2
n
+
s
y
2
m
≤
Z
1
−
α
−
δ
s
x
2
n
+
s
y
2
m
)
\beta = P(\frac {\overline x - \overline y} {\sqrt{{s_x^2 \over n}+{s_y^2 \over m}}}\leq Z_{1-\alpha}|H_0为假) = P(\frac {\overline x - \overline y-\delta} {\sqrt{{s_x^2 \over n}+{s_y^2 \over m}}}\leq Z_{1-\alpha}-\frac {\delta} {\sqrt{{s_x^2 \over n}+{s_y^2 \over m}}})
β=P(nsx2+msy2
x−y≤Z1−α∣H0为假)=P(nsx2+msy2
x−y−δ≤Z1−α−nsx2+msy2
δ)
=
P
(
x
‾
−
y
‾
−
δ
s
x
2
n
+
s
y
2
m
≤
Z
1
−
α
−
Z
)
,
其
中
Z
=
δ
s
x
2
n
+
s
y
2
m
,
δ
=
μ
x
−
μ
y
=P(\frac {\overline x - \overline y-\delta} {\sqrt{{s_x^2 \over n}+{s_y^2 \over m}}}\leq Z_{1-\alpha}-Z),其中Z =\frac {\delta} {\sqrt{{s_x^2 \over n}+{s_y^2 \over m}}},\delta = \mu_x-\mu_y
=P(nsx2+msy2
x−y−δ≤Z1−α−Z),其中Z=nsx2+msy2
δ,δ=μx−μy
在
H
0
H_0
H0为真的情况下，
x
‾
−
y
‾
s
x
2
n
+
s
y
2
m
\frac {\overline x - \overline y} {\sqrt{{s_x^2 \over n}+{s_y^2 \over m}}}
nsx2+msy2
x−y近似服从正态分布，当
H
0
H_0
H0为假的情况下，
x
‾
−
y
‾
−
δ
s
x
2
n
+
s
y
2
m
\frac {\overline x - \overline y-\delta} {\sqrt{{s_x^2 \over n}+{s_y^2 \over m}}}
nsx2+msy2
x−y−δ近似服从正态分布,上式可改写为：
β
=
Φ
(
Z
1
−
α
−
Z
)
\beta = \Phi(Z_{1-\alpha}-Z)
β=Φ(Z1−α−Z)
统计功效（statistical power）是指，当H0为假拒绝H0的概率。也就是1-β的概率。
因此统计功效计算方式为：
P
o
w
e
r
=
1
−
β
=
1
−
Φ
(
Z
1
−
α
−
Z
)
=
Φ
(
Z
−
Z
1
−
α
)
Power = 1-\beta = 1-\Phi(Z_{1-\alpha}-Z) = \Phi(Z-Z_{1-\alpha})
Power=1−β=1−Φ(Z1−α−Z)=Φ(Z−Z1−α)
接下来计算样本量问题，要同时满足
α
和
P
o
w
e
r
\alpha和Power
α和Power需要一定的样本量，具体推导公式为：
1
−
β
=
Φ
(
Z
−
Z
1
−
α
)
→
Z
1
−
β
=
Z
−
Z
1
−
α
→
Z
1
−
β
+
Z
1
−
α
=
Z
→
Z
1
−
β
+
Z
1
−
α
=
δ
s
x
2
n
+
s
y
2
n
这
里
假
设
样
本
数
相
同
都
是
n
→
n
=
(
Z
1
−
β
+
Z
1
−
α
)
2
+
(
s
x
2
+
s
y
2
)
δ
2
1-\beta = \Phi(Z-Z_{1-\alpha}) \rightarrow Z_{1-\beta} = Z-Z_{1-\alpha} \rightarrow Z_{1-\beta}+Z_{1-\alpha} = Z \rightarrow Z_{1-\beta}+Z_{1-\alpha} =\frac {\delta} {\sqrt{{s_x^2 \over n}+{s_y^2 \over n}}} 这里假设样本数相同都是n\rightarrow n =\frac{(Z_{1-\beta}+Z_{1-\alpha})^2+(s_x^2+s_y^2)} {\delta^2}
1−β=Φ(Z−Z1−α)→Z1−β=Z−Z1−α→Z1−β+Z1−α=Z→Z1−β+Z1−α=nsx2+nsy2
δ这里假设样本数相同都是n→n=δ2(Z1−β+Z1−α)2+(sx2+sy2)
对于双边检验也是类似情况：
P
o
w
e
r
=
1
−
β
=
Φ
(
Z
−
Z
1
−
α
2
)
Power = 1-\beta = \Phi(Z-Z_{1-\frac \alpha 2})
Power=1−β=Φ(Z−Z1−2α)
n = ( Z 1 − β + Z 1 − α 2 ) 2 + ( s x 2 + s y 2 ) δ 2 n =\frac{(Z_{1-\beta}+Z_{1-\frac \alpha 2})^2+(s_x^2+s_y^2)} {\delta^2} n=δ2(Z1−β+Z1−2α)2+(sx2+sy2)
标签：frac,over,overline,beta,计算,功效,alpha,Z1,统计 来源： https://blog.csdn.net/weixin_46719623/article/details/120931568