[CSP-S2020] 贪吃蛇
作者：互联网
前言
喜欢思维题，更喜欢做不出来但看了题解直呼妙的思维题。
但是讨厌考试时做不出来的思维题。/youl
题目
讲解
这种题显然要先挖掘性质。
- 性质一：如果一条蛇吃了之后不是最弱蛇，它一定吃。
证明的话稍微分类讨论一下就好了：
- 如果最强蛇吃了之后还是最强蛇，不吃白不吃。
- 最强蛇吃了之后不是最强蛇，那么次强蛇上位，次强蛇如果选择不吃，安全；次强蛇如果吃，吃的一定是次弱蛇，吃了之后一定比最强蛇吃了最弱蛇还要弱，在之后的操作中如果次强蛇会被吃，那么现在这次操作它一定会选择不吃，依然安全。
现在问题就变成最强蛇吃了最弱蛇之后自己是最弱蛇的情况了。
为了方便，我们将所有蛇按实力动态排序为 \([1,n]\)。
现在我们假设 \(n\) 吃了 \(1\)，原来的 \(n\) 就变成了 \(1\) (动态更新排名)，考虑 \(n-1\) 要不要吃 \(1\)，如果 \(n-1\) 吃了 \(1\) 之后不是最弱蛇或者只剩一条蛇，它就会选择吃，否则我们需要假设 \(n-1\) 吃 \(1\)，然后看 \(n-2\) 的抉择...
可以发现最后一定可以找到一条必吃的蛇，然后判断它和最初始的 \(n\) 的奇偶性是否相同即可判断最初的 \(n\) 是否选择吃。
用 set 模拟这个过程可以做到 \(O(Tn\log_2n)\)，\(70pts\) 到账。
显然正解应该是 \(O(Tn)\) 的，题目限制提示我们应该会用到单调性，由于第二个过程可以 \(O(n)\) 实现，所以我们只需考虑优化第一个过程。
大力思考第一个过程中有什么性质。
- 性质二：后吃的蛇一定比先吃的蛇弱。
现在我们用两个双端队列存储这些蛇，第一个存的是初始没用过餐的蛇，第二个存的是用过餐的蛇，队首弱，队尾强。
我们每次要做的是从两个队列的队尾取出一个最强的，从队列一的队首取出最弱的(由性质一+过程一可得出队列二中一定不存在最弱的)，吃掉之后与次弱比较，强于次弱则直接加入队列二的队首。
在性质一的证明 2. 中我们粗略说明了最强蛇和次强蛇都吃，次强蛇一定比最强蛇弱的结论。
所以这么吃下去，用过餐的蛇一定也是单调的，但是这只说明了队列一中的蛇连续吃满足性质二，有没有可能最强蛇在队列二中，且吃了之后比当前队列二队首强呢？
不可能。
我们考虑当前队列二队首 \(h_2\) 是怎么进来的：
在 \(h_2\) 还没进来的时候，它一定是队列一队尾，它和队列二队尾 \(t_2\) 比较之后发现自己更强，于是吃掉了那个时候的最弱蛇 \(s_1\) ，可以说明没吃的时候 \(h_2\) 比 \(t_2\) 强。
在 \(h_2\) 进来之后，最弱蛇 \(s_1\) 已经由之前的次弱蛇 \(s_2\) 顶替，由 \(h_2\) 强于 \(t_2\)，\(s_1\) 弱于 \(s_2\) 可知此时如果 \(t_2\) 吃掉这条 \(s_2\) ，一定比 \(h_2\) 吃掉 \(s_1\) 更弱，所以吃掉之后可以直接放到队列二队首，性质二完全正确！
在过程一结束之后只需要对这两个队列进行归并排序即可做到 \(O(n)\)。
总时间复杂度 \(O(Tn)\)。
代码
其实没有想象中那么难打
//12252024832524
#include <bits/stdc++.h>
#define TT template<typename T>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1000005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int a[MAXN];
LL Read()
{
LL x = 0,f = 1; char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-') f = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
if(x > 9) Put1(x/10);
putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}
struct node
{
int val,ID;
bool operator < (const node &px)const{
if(val^px.val) return val < px.val;
return ID < px.ID;
}
node operator - (const node &C)const{
return node{val-C.val,ID};
}
}les[MAXN];
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
int T = Read();
for(int cas = 1;cas <= T;++ cas)
{
if(cas == 1)
{
n = Read();
for(int i = 1;i <= n;++ i) a[i] = Read();
}
else
{
int k = Read();
for(int i = 1,pos;i <= k;++ i) pos = Read(),a[pos] = Read();
}
deque<node> q1,q2;
for(int i = 1;i <= n;++ i) q1.push_back(node{a[i],i});
int q1len,q2len;
while((q1len = q1.size()) + (q2len = q2.size()) > 2)//最小的一定是q1的头，所以执行循环时q1永不空，
{
if(q2len && q1.back() < q2.back())//q2大！
{
node ne = q2.back() - q1.front(),se = node{INF,n+1};//new & second
if(q1len > 1 && q1[1] < se) se = q1[1];
if(q2len && q2[0] < se) se = q2[0];
if(se < ne) q2.push_front(ne),q1.pop_front(),q2.pop_back();
else break;
}
else//复读机嘛
{
node ne = q1.back() - q1.front(),se = node{INF,n+1};//new & second
if(q1len > 1 && q1[1] < se) se = q1[1];
if(q2len && q2[0] < se) se = q2[0];
if(se < ne) q2.push_front(ne),q1.pop_front(),q1.pop_back();
else break;
}
}
if(q1len+q2len <= 2)
{
Put(1,'\n');
continue;
}
//归并
int tot = 0;
while(!q1.empty() && !q2.empty())
if(q1.front() < q2.front()) les[++tot] = q1.front(),q1.pop_front();
else les[++tot] = q2.front(),q2.pop_front();
while(!q1.empty()) les[++tot] = q1.front(),q1.pop_front();
while(!q2.empty()) les[++tot] = q2.front(),q2.pop_front();
int ans = tot;
while(tot > 2)
{
if(les[tot] - les[1] < les[2]) les[1] = les[tot] - les[1],--tot;
else break;
}
if((tot & 1) == (ans & 1)) Put(ans-1,'\n');
else Put(ans,'\n');
}
return 0;
}
标签：q1,node,q2,队列,int,贪吃蛇,S2020,CSP,se 来源： https://www.cnblogs.com/PPLPPL/p/15440593.html