动态规划——最长公共子序列（LCS）

暴力搜索枚举法

1. 枚举序列X里的每一个子序列xi
2. 检查子序列xi是否也是Y序列里的子序列；
3. 在每一步记录当前找到的子序列里面的最长的子序列。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include <math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
string x,y; // 两个待比较的字符串
string seq;//最长公共子序列
string tmp;//临时变量
int len=0;//最长公共子序列长度
cin>>x>>y;
for(int i=0;i<pow(2,x.strlen());i++)
{
     tmp = "";
     // 获得子序列
     for(int j=x.strlen()-1;j>=0;j--)
     {
        if((i>>j)&1==1)
        {
            tmp = tmp + x[x.strlen()-1-j];
        }
     }
     int t=0,k=0;
     // 判断x的该子序列是否出现在y中
     while(k<y.strlen()&&t<tmp.strlen())
     {
        if(y[k]==tmp[t])
        {
           t++;
           k++;
        }
        else
        {
            k++;
        }
     }
     if(t==tmp.strlen())
     {
          len = max(len,tmp.strlen());
          seq=tmp;
     }
}
return 0;
}

在第1步枚举X中所有的子序列有2^m个，
每个子序列在Y中检查时间复杂度为O(n)。
因此蛮力策略的最坏时间复杂度为O(n*2^m)，
这是指数级算法，对较长的序列求LCS是不适用的。
https://blog.csdn.net/qq_55553431/article/details/115189524

动态规划方法

设
X=<x1,x2,x3,x4…,xm>，
Y=<y1,y2,y3,y4…,yn>为两个序列，
Z=<z1,z2,z3,z4…,zk>是他们的任意公共子序列

经过分析，我们可以知道：

1、如果xm = yn，则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS

2、如果xm != yn 且 zk != xm，则Z是Xm-1和Y的一个LCS

3、如果xm != yn 且 zk != yn，则Z是X和Yn-1的一个LCS

用一个二维数组c表示
字符串X前i和Y前j个字符的LCS的长度，
可以得到以下公式：

只需要从c[0][0]开始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度

例如，ABCB和BDCA两个字符串的最大公共子序列长度为2，打表计算的过程如下所示。






右下角的2即为LCS的长度

由于只需要填一个m行n列的二维数组，
其中m代表第一个字符串长度，n代表第二个字符串长度。
时间复杂度为O（m*n）

获得最长公共子序列的方法：

X、Y两个字符串，
用一个二维数组b，
在对应字符相等的时候，用↖标记；
对应字符不相等，
在f(i-1,j)>=f(i,j-1)的时候，用↑标记；
在f(i-1,j)<f(i,j-1)的时候，用←标记。
比如说求ABCBDAB和BDCABA的LCS:

若想得到LCS，则再遍历一次b数组就好了，从最后一个位置开始往前遍历：
如果箭头是↖，则代表这个字符是LCS的一员，存下来后 i-- , j–;
如果箭头是←，则代表这个字符不是LCS的一员，j–;
如果箭头是↑ ，也代表这个字符不是LCS的一员，i–。
如此直到i = 0或者j = 0时停止，最后存下来的字符就是所有的LCS字符。

#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;
void LCS(string s1,string s2)
{
    int m=s1.length()+1;
    int n=s2.length()+1;// 比字符串长度应该多出1
    //c[i][j] 表示字符串X前i和Y前j个字符的LCS的长度
     //b[i][j] 表示字符串的前进方向
    int **c;
    int **b;
    c=new int* [m];// b、c两个矩阵都有m行
    b=new int* [m];
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        c[i]=new int [n];// c[i]、b[i]是一个行向量，有n列
        b[i]=new int [n];
        for(int j=0;j<n;j++)
            b[i][j]=0; // b矩阵全部元素初始化为0
    }
    // 边界初始化
    for(int i=0;i<m;i++)
        c[i][0]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        c[0][i]=0;
    // 对c[m][n]打表
    for(int i=0;i<m-1;i++)
    {
        for(int j=0;j<n-1;j++)
        {
            if(s1[i]==s2[j])
            {
                c[i+1][j+1]=c[i][j]+1;
                b[i+1][j+1]=1;          //1表示箭头为  左上
            }
            else if(c[i][j+1]>=c[i+1][j])
            {
                c[i+1][j+1]=c[i][j+1];
                b[i+1][j+1]=2;          //2表示箭头向  上
            }
            else
            {
                c[i+1][j+1]=c[i+1][j];
                b[i+1][j+1]=3;          //3表示箭头向  左
            }
        }
    }
    
    for(int i=0;i<m;i++)                //输出c数组
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            cout<<c[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }

    //  最长公共子序列字符顺序是先进后出
    stack<char> same;                   //存LCS字符
    stack<int> same1,same2;             //存LCS字符在字符串1和字符串2中对应的下标，方便显示出来
    for(int i = m-1,j = n-1;i >= 0 && j >= 0; )
    {
        if(b[i][j] == 1)
        {
            i--;
            j--;
            same.push(s1[i]);
            same1.push(i);
            same2.push(j);
        }
        else if(b[i][j] == 2)
                i--;
             else
                j--;
    }
    
    cout<<s1<<endl;                     //输出字符串1
    // same1存LCS字符在字符串1中对应的下标
    for(int i=0;i<m && !same1.empty();i++)      //输出字符串1的标记
    {
        if(i==same1.top())
        {
            cout<<1;
            same1.pop();
        }
        else
            cout<<' ';
    }
    
    cout<<endl<<s2<<endl;                //输出字符串2
    for(int i=0;i<n && !same2.empty();i++)      //输出字符串2的标记
    {
        if(i==same2.top())
        {
            cout<<1;
            same2.pop();
        }
        else
            cout<<' ';
    }


    cout<<endl<<"最长公共子序列为：";
    while(!same.empty())
    {
        cout<<same.top();
        same.pop();
    }
    
    cout<<endl<<"长度为："<<c[m-1][n-1]<<endl;
    // 先删除行
    for (int i = 0; i<m; i++)
    {
        delete [] c[i];
        delete [] b[i];
    }
    // 再删除列
    delete []c;
    delete []b;
}



int main()
{
    string s1="ABCPDSFJGODIHJOFDIUSHGD";
    string s2="OSDIHGKODGHBLKSJBHKAGHI";
    LCS(s1,s2);// 调用求两个字符串公共子序列的函数
    return 0;
}

代码的运行效果，如图所示。

标签：字符,LCS,int,字符串,序列,include,最长
来源： https://blog.csdn.net/qq_41734963/article/details/120872831