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CF1580E Railway Construction

作者:互联网

CF1580E Railway Construction

铁路系统中有 \(n\) 个车站和 \(m\) 条双向边,有边权,无重边。这些双向边使得任意两个车站互相可达。

你现在要加一些单向边 \((u,v,w)\) ,\(w\) 随便定,代价是 \(a_u\) ,使得从 \(1\) 号车站出发到每个车站都有至少两条边不相交的路线,并且最短路不改变。

由于不可控因素,\(a\) 序列会受到 \(q\) 次修改,每次让 \(a_u \leftarrow a_u+x\) ,并求当前的最小代价。

\(1\le n,m,q \le 3\cdot 10^5,1\le a_i\le 10^9, 1\le x\le 4\cdot 10^8\) 。

Solution

首先从 \(1\) 出发跑最短路,显然非最短路边是无用的。因此建出最短路图,我们在 DAG 上讨论问题。

可以发现,将所有点按照 \(\text{dis}\) 排序是合法的拓扑序,而只要有一个点入度 \(\ge 2\) ,那么它已经满足要求了。

所以,问题转化为将所有入度 \(=1\) 的点新连一条边,那么肯定挑拓扑序在它之前的 \(a\) 最小的点。

因此在拓扑序上维护前缀 \(a\) 最小值和次小值的点即可,暴力复杂度 \(\mathcal O(nq)\) 。

考虑优化,我们将所有改变前缀最小/次小的位置丢进一个 set 里,显然二元组 (最小值,次小值) 构成一个个区间。倒着处理询问(即每次 \(a_u\) 变小):

总时间复杂度 \(\mathcal O(m\log m+(n+q)\log n)\) 。

标签:CF1580E,le,set,小值,最小值,Construction,区间,mathcal,Railway
来源: https://www.cnblogs.com/wlzhouzhuan/p/15359277.html