【题解】模拟费用流的一些经典题目
作者：互联网
UOJ 455. 雪灾与外卖
考虑到球 \(a\)，匹配前面的一个洞后应该考虑：
- 后面有一个球来抢洞：该球失配，非法。
- 后面有一个洞来抢球：令当前匹配费用为 \(x_a+t\)，则相当于让后面的洞匹配了一个权值为 \(-2x_a-t\) 的球。
考虑到洞 \(b\)，匹配前面的一个球后应该考虑：
- 后面有一个球来抢洞：令当前匹配费用为 \(x_b+w_b+t\)，则相当于让后面的球匹配了一个权值为 \(-2x_b-t\) 的洞。
- 后面有一个洞来抢球：令当前匹配费用为 \(x_b+w_b+t\)，则相当于让后面的洞匹配了一个权值为 \(-x_b-w_b\) 的球。
注意到因为一个洞会出现很多次，所以可以多次考虑匹配，当匹配不优的时候就把剩下的洞一股脑的丢进堆里即可。
代码：提交记录 #507879 - Universal Online Judge (uoj.ac)
ICPC World Finals 2018 征服世界
在 lca 统计贡献，如果堆顶可以使得答案更小那么更新（注意到因为要求所有球必须进洞，所以最开始给每个球一个极小附加权值保证每个球都会被匹配），同时添加反悔。
注意到因为两个匹配点不可能同时反悔（不会使得答案变优），所以总共需要处理的球和洞的级别是军队总数的，时间复杂度 \(O(S\log S)\) 。
代码：提交记录 #1254764 - LibreOJ (loj.ac)
NOI2019 序列
依次加入 \(a_i\)，考虑增广路怎么走：
- \(S\rightarrow a_i\) 然后 \(a_i\rightarrow b_i\) 最后 \(b_i\rightarrow T\) 。 （走第一类匹配边）
- \(S\rightarrow a_i\)，然后 \(a_i\) 走附加边去到某个 \(b\) 后去 \(T\) 。（走第二类匹配边）
- \(S\rightarrow a_i\) 然后 \(a_i\rightarrow b_i\)，接着冲掉之前和 \(b_i\) 匹配的点，走附加点回到 \(a_j\)，对应点 \(a_j\) 走对应的 \(b_j\) 到 \(T\) 。（走第一类匹配边冲第二类匹配边变为第一类匹配边）
- \(S\rightarrow a_i\) 然后 \(a_i\rightarrow b_i\)，接着冲掉之前和 \(b_i\) 匹配的点，走到附加点寻找新的匹配 \(b_k\) 走到 \(T\) 。（走第一类匹配边冲第二类匹配边变为第二类匹配边）
- \(S\rightarrow a_i\)，然后 \(a_i\) 走附加边去对面选点，冲掉之前走附加边的某个 \(a_j\)，让 \(a_j\) 走 \(b_j\) 到 \(T\) 。（走第二类匹配边冲第二类匹配边变为第一类匹配便）
一共五种简单的增广路（注意到不会有 "走第二类匹配边冲第二类匹配边变为第二类匹配边" 的情况，这种情况和 "走第二类匹配边" 没有区别，因为不关心谁匹配了谁）。
注意到正常描述增广路的方式应该是 "在左右点乱跳，然后最后跳到 \(T\) 表示找到一对新的匹配"，看样子不能简单归为上面五种。
但其实对于这样的增广路，可以先找到重复点直接 匹配，容易发现这样子肯定不会变劣，所以最开始就不会出现左右部点重复的情况。接着考虑剩下的东西，注意到模拟费用流时，存下来的反悔方案都不用具体地表示出增广路：这意味着，我们知道左右部匹配了多少点，但是不用关心具体怎么匹配的（事实上模拟费用流都是这样的）。所以我们认为新增节点的时候，只需要讨论上述五种简单的增广路。
讨论一下这五类增广路碰到的点的状态：
- \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 未匹配：\(a_i+b_i\) 最大。
- \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 不管；\(a_j\) 不管，\(b_j\) 未匹配：\(a_i+b_j\) 最大。
- \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 已匹配；\(a_j\) 已匹配，\(b_j\) 未匹配：\(a_i+b_j\) 最大。
- \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 已匹配；\(a_j\) 已匹配，\(b_j\) 不管；\(a_k\) 不管，\(b_k\) 未匹配：\(a_i+b_k\) 最大。
- \(a_i\) 已匹配，\(b_i\) 未匹配；\(a_j\) 不管，\(b_j\) 已匹配；\(a_k\) 未匹配，\(b_k\) 不管：\(a_k+b_i\) 最大。
可以发现后两条中间的 \(a_j\) 其实不需要讨论，此时只需要维护：
- \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 未匹配：\(a_i+b_i\) 最大。
- \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 已匹配：\(a_i\) 最大。
- \(a_i\) 已匹配，\(b_i\) 未匹配：\(b_i\) 最大。
- \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 不管：\(a_i\) 最大。
- \(a_i\) 不管，\(b_i\) 未匹配：\(b_i\) 最大。
将所有的 \(i\) 分为了五类，用五个堆维护，然后模拟五种增广路带来的影响即可。
代码：提交记录 #1256954 - LibreOJ (loj.ac)
考虑增广路好像还要有顺序的，如果顺序错了就是过不去？我是真的不懂。
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