P4548-[CTSC2006]歌唱王国【概率生成函数,KMP】
作者：互联网
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4548
题目大意
t t t次询问，给出一个长度为 m m m的串 S S S和一个空串 T T T，每次在 T T T后面随机加入 1 ∼ n 1\sim n 1∼n的字符，直到 T T T中出现 S S S为止，求期望次数。
1 ≤ n ≤ 1 0 5 , t ≤ 50 , 1 ≤ m ≤ 1 0 5 1\leq n\leq 10^5,t\leq 50,1\leq m\leq 10^5 1≤n≤105,t≤50,1≤m≤105
解题思路
对于一个随机的数字
X
X
X，它的概率生成函数是一个形如
F
(
x
)
=
∑
i
=
0
∞
P
(
X
=
i
)
x
i
F(x)=\sum_{i=0}^\infty P(X=i)x^i
F(x)=i=0∑∞P(X=i)xi
F
′
(
x
)
=
∑
i
=
1
∞
P
(
X
=
i
)
i
x
i
−
1
F'(x)=\sum_{i=1}^\infty P(X=i)ix^{i-1}
F′(x)=i=1∑∞P(X=i)ixi−1
不难发现数字
X
X
X的期望值就是
E
(
X
)
=
F
′
(
1
)
E(X)=F'(1)
E(X)=F′(1)
然后还有一个不知道有啥用的
X
X
X的方差（大概就是离散程度）
V
(
X
)
=
F
′
′
(
1
)
+
F
′
(
1
)
−
F
′
(
1
)
2
V(X)=F''(1)+F'(1)-F'(1)^2
V(X)=F′′(1)+F′(1)−F′(1)2
这题的话，设两个生成函数，
F
(
x
)
F(x)
F(x)表示停止时间
X
X
X的概率生成函数，还有一个
G
(
x
)
G(x)
G(x)表示没有停止时间的概率（不是概率生成函数），具体地
G
(
x
)
=
∑
i
=
0
∞
P
(
i
<
X
)
x
i
G(x)=\sum_{i=0}^\infty P(i<X)x^i
G(x)=i=0∑∞P(i<X)xi
然后我们就有两个式子
x
G
(
x
)
+
1
=
F
(
x
)
+
G
(
x
)
xG(x)+1=F(x)+G(x)
xG(x)+1=F(x)+G(x)
这个式子的含义很好理解，在还没有结束的序列后面加入一个字符要么结束了要么没结束。
(
x
n
)
m
G
(
x
)
=
∑
i
=
1
m
(
x
n
)
m
−
i
b
i
F
(
x
)
\left(\frac{x}{n}\right)^mG(x)=\sum_{i=1}^m \left(\frac{x}{n}\right)^{m-i}b_iF(x)
(nx)mG(x)=i=1∑m(nx)m−ibiF(x)
b
i
b_i
bi表示
i
i
i是否是串
S
S
S的一个
b
o
r
d
e
r
border
border，这个式子的意思就是说在直接在未结束的
T
T
T后面插入一个
S
S
S，此时可能提前结束。
然后这两个式子怎么用呢，我们对第一个式子求导就有
G
(
x
)
+
G
′
(
x
)
=
F
′
(
x
)
+
G
′
(
x
)
⇒
F
′
(
x
)
=
G
(
x
)
G(x)+G'(x)=F'(x)+G'(x)\Rightarrow F'(x)=G(x)
G(x)+G′(x)=F′(x)+G′(x)⇒F′(x)=G(x)
也就是说我们要求的
E
(
X
)
=
F
′
(
1
)
=
G
(
1
)
E(X)=F'(1)=G(1)
E(X)=F′(1)=G(1)
然后直接带入第二个式子，因为有
F
(
1
)
=
1
F(1)=1
F(1)=1，所以
(
1
n
)
m
G
(
1
)
=
∑
i
=
1
m
(
1
n
)
m
−
i
b
i
F
(
1
)
\left(\frac{1}{n}\right)^mG(1)=\sum_{i=1}^m \left(\frac{1}{n}\right)^{m-i}b_iF(1)
(n1)mG(1)=i=1∑m(n1)m−ibiF(1)
⇒
G
(
1
)
=
∑
i
=
1
m
n
i
b
i
\Rightarrow G(1)=\sum_{i=1}^mn^ib_i
⇒G(1)=i=1∑mnibi
用
K
M
P
KMP
KMP求出
b
b
b数组即可。
时间复杂度 O ( T m ) O(Tm) O(Tm)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=1e4;
ll T,m,n,pw[N],a[N],nxt[N];
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&m,&T);pw[0]=1;
for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*m%P;
while(T--){
scanf("%lld",&n);ll ans=0;
for(ll i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
for(ll i=2,j=0;i<=n;i++){
while(j&&a[j+1]!=a[i])j=nxt[j];
j+=(a[j+1]==a[i]);nxt[i]=j;
}
for(ll i=n;i;i=nxt[i])
(ans+=pw[i])%=P;
printf("%04lld\n",ans);
}
return 0;
}
标签：P4548,mG,right,ll,leq,KMP,CTSC2006,sum,式子 来源： https://blog.csdn.net/Mr_wuyongcong/article/details/120335626