长链剖分小结

概述：

参考神犇yyb的博客

问题：如何做到\(O(nlogn)-O(1)\)复杂度求解\(k\)次祖先？

常规倍增是\(O(nlogn)-O(logn)\)的，重链剖分是\(O(nlogn)-O(logn)\)的，欧拉序st表能在\(O(nlogn)-O(1)\)复杂度内求两点LCA，但并不能查出k次祖先是谁

长链剖分

方法和树剖十分类似，代码也几乎相同，但我们每次不是挑子树最大的儿子作为重链，而是挑最大深度最大的儿子作为重链

长链剖分有如下性质：

1.所有重链长度之和是\(O(n)\)级别

显然每个点最多在一条重链内

2.如果x和k次祖先y不在同一重链内，那么y点长链的链长（所在重链末尾节点到它的距离），一定大于等于k

如果小于k，那么x-y这条链更长，与长链剖分的前提——挑最大深度的儿子相悖

继续考虑怎么利用性质

这个做法需要分类讨论

在常规的重链剖分中，如果k级祖先和它在同一重链内（用深度判断\(dep[top_{x}]-dep_[x]\ge k\)），我们可以在\(O(1)\)时间找到k级祖先（维护重链剖分序，同一重链上的点一定连续）

把这个想法拓展到长链剖分，我们去掉了x与k级祖先在同一重链上的情况

现在x和k级祖先不在同一重链上

有一个想法：我们找到x点的\(r\)级祖先，使得\(r>k/2\)，我们能够\(O(1)\)时间内求出x点的\(r\)级祖先z。然后考虑z的\(k-r\)级祖先，用上面的方法提到的check一下。如果不彳亍，说明z和y不在同一链内，且z的链头T深度比y大

由长链剖分性质1可知，重链长度之和一定是\(O(n)\)级别，我们对于每个链头，暴力处理出跳\([1,链长]\)长度时的祖先！！容易发现这个预处理复杂度是\(O(n)\)的

而我们找到的\(r>k/2\)，利用上面预处理出的数组就可以\(O(1)\)找到y了

还剩一个问题，这个\(r\)级祖先怎么选，才能\(O(1)\)找到呢？倍增就行了！我们令r一定是2的幂次，对于询问k，我们取k的最高位\(highbit(k)\)即可

总结一下：每个点倍增预处理\(O(nlogn)\)，长链剖分\(O(n)\)，链头的处理\(O(n)\)，每次询问\(O(1)\)

标签：长链,nlogn,同一,剖分,祖先,重链,小结
来源： https://www.cnblogs.com/guapisolo/p/15248588.html