简单数学题
作者：互联网
题目大意
对于一个正整数 \(N\)，存在一个正整数 \(T\)，使得 \(\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}\) 的值是正整数。
请输出所有可能的正整数 \(T\)（按从小到大的顺序排列）。
对于 \(100 \ \%\) 的数据，\(N \leq 10^{14}\)
解题思路
考虑分解这个上面那个式子，设 \(k\) 为 \(\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}\) 的值：
\[\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}=k \]分数上下同乘 \(2\) 得：
\[\frac{2N-T}{2N-2T}=k \]设 \(x=N-T\)，化简得：
\[\frac{x+N}{2x}=k \]然后等式两边同乘 \(2\)，得：
\[\frac{2x+2N}{2x}=2k \]化简得：
\[\frac{N}{x}+1=2k \]\[\because k \ 为正整数且 \ 1 \ 为正整数 \]\[\therefore \frac{N}{x} \ 为正整数 \]\[\therefore x \ 为 \ N \ 的因子，即 \color{red}{\ N-T \ 为 \ N \ 的因子} \]\[又 \because 2k \ 是偶数且 \ 1 \ 是奇数 \]\[\therefore \frac{N}{x} \ 为奇数，即 \ \color{red}{\frac{N}{N-T} \ 为奇数} \]再看回原式：
\[\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}=k \]\[\because T \ 为正整数且 \ N-T \ 为正整数 \]\[\therefore N-\frac{1}{2}T \ 为正整数 \]\[\therefore \color{red}{T \ 为偶数} \]综上所述：
\[N-T \ 为 \ N \ 的因子，\frac{N}{N-T} \ 为奇数且 \ T \ 为偶数 \]跑出所有因子判断即可。
时间复杂度 \(O(\sqrt{n})\)。
AC CODE
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n;
int p[10000000], ans;
void js(int x)
{
for(int i = 1; i <= sqrt(x); i ++)
{
if(x % i == 0)
{
if((x - i) % 2 == 0 && n / i % 2 == 1) p[++ans] = x - i;
if(i * i != x && i != 1)
{
if((x - x / i) % 2 == 0 && n / (x / i) % 2 == 1)
p[++ans] = x - x / i;
}
}
}
}
signed main()
{
scanf("%lld", &n);
if(n == 1)
{
printf("0");
return 0;
}
js(n);
sort(p + 1, p + ans + 1);
printf("%lld ", ans);
for(int i = 1; i <= ans; ++i)
printf("%lld ", p[i]);
return 0;
}
标签：because,frac,奇数,int,therefore,简单,数学题,正整数 来源： https://www.cnblogs.com/orzz/p/15195159.html