向量及其线性运算

 

向量的概念

　　客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）。

　　在数学上，常用一条有方向的线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。以$A$为起点、$B$为终点的有向线段记作$\overrightarrow{AB}$。有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加箭头）来表示向量，例如$\boldsymbol a$、$\boldsymbol r$、$\boldsymbol v$、$\boldsymbol F$或$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{r}$、$\overrightarrow{v}$、$\overrightarrow{F}$等。

　　向量的大小叫做向量的模，向量$\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol a$和$\overrightarrow{a}$的模依次记作$|\overrightarrow{AB}|$、$|\boldsymbol a|$和$|\overrightarrow{a}|$。模等于$1$的向量叫做单位向量，模等于$0$的向量叫做零向量，记作$\boldsymbol 0$或$\overrightarrow{0}$。零向量的起点与终点重合，它的方向可以看做是任意的。

　　设有两个非零向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，任取空间一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a$，规定不超过$\pi$的$\angle AOB$（设$\varphi = \angle AOB$,$0\leqslant \varphi \leqslant \pi$）称为向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角，记作$(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})$或$(\widehat{\boldsymbol b,\boldsymbol a})$，即$(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})=\varphi$。如果向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在$0$到$\pi$之间任意取值。

　　如果$(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})=0$或$\pi$，就称向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$平行，记作$\boldsymbol a//\boldsymbol b$。如果$(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})=\frac \pi 2$，就称向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$垂直，记作$\boldsymbol a\bot\boldsymbol b$。由于零向量与另一向量的夹角可以在$0$到$\pi$之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直。

　　当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上。因此，两向量平行，又称两向量共线。

　　类似还有向量共面的概念。设有$k(k\geqslant 3)$个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果$k$个终点和公共起点在一个平面上，就称这$k$个向量共面。

向量的线性运算

向量的加减法

　　向量的加法运算规定如下：

　　设有两个向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$，任取一点$A$，作$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$，再以$B$为起点，作$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol b$，连接$AC$，

那么向量$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c$称为向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的和，记作$\boldsymbol a+\boldsymbol b$，即$$\boldsymbol c=\boldsymbol a+\boldsymbol b$$

　　上述做出两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则。

　　同样的，我们也有向量相加的平行四边形法则。

　　向量的加法符合下列运算规律：

　　（1）交换律  $\boldsymbol a+\boldsymbol b = \boldsymbol b+\boldsymbol a$；

　　（2）结合律  $(\boldsymbol a+\boldsymbol b) + \boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b + \boldsymbol c)$。

　　这是因为，按向量加法的规定（三角形法则）：$$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c\\\boldsymbol b+\boldsymbol a=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c$$所以符合交换律。先做$\boldsymbol a+\boldsymbol b$再加上$\boldsymbol c$，即得和$(\boldsymbol a+\boldsymbol b) + \boldsymbol c$，若以$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b+\boldsymbol c$相加，则得同一结果，所以符合结合律。

　　由于向量的加法符合交换律和结合律，故$n$个向量$\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_n(n\geqslant3)$相加可写成$$\boldsymbol a_1+\boldsymbol a_2+\dots+\boldsymbol a_n$$　　设$\boldsymbol a$为一向量，与$\boldsymbol a$的模相同而方向相反的向量叫做$\boldsymbol a$的负向量，记作$-\boldsymbol a$。由此，我们规定两个向量$\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的差$$\boldsymbol b-\boldsymbol a=\boldsymbol b+(-\boldsymbol a)$$即把向量$-\boldsymbol a$加到向量$\boldsymbol b$上，便得$\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的差$\boldsymbol b-\boldsymbol a$。

　　特别地，当$\boldsymbol b=\boldsymbol a$时，有$$\boldsymbol a-\boldsymbol a=\boldsymbol a+(-\boldsymbol a)=\boldsymbol 0$$　　显然，任给向量$\overrightarrow{AB}$及点$O$，有$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$因此，若把向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$移到同一起点$O$，则从$\boldsymbol a$的终点$A$向$\boldsymbol b$的终点$B$所引向量$\overrightarrow{AB}$便是向量$\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的差$\boldsymbol b-\boldsymbol a$。

　　由三角形两边之和大于第三边，有$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|\ 及\ |\boldsymbol a-\boldsymbol b|\leqslant|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$$其中等号在$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向或反向时成立。

向量与数的乘法

　　向量$\boldsymbol a$与实数$\lambda$的乘积记作$\lambda\boldsymbol a$，规定$\lambda\boldsymbol a$是一个向量，它的模$$|\lambda\boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a|$$　　它的方向当$\lambda > 0$时与$\boldsymbol a$相同，当$\lambda<0$时与$\boldsymbol a$相反。

　　当$\lambda=0$时$|\lambda\boldsymbol a|=0$，即$\lambda\boldsymbol a$为零向量，这时它的方向可以时任意的。

　　特别地，当$\lambda=\pm 1$时，有$$1\boldsymbol a=\boldsymbol a,(-1)\boldsymbol a=-\boldsymbol a$$　　向量与数的乘积符合下列运算规律：

　　（1）结合律  $\lambda(\mu\boldsymbol a)=\mu(\lambda\boldsymbol a)=(\lambda\mu)\boldsymbol a$，而且$|\lambda(\mu\boldsymbol a)|=|\mu(\lambda\boldsymbol a)|=|(\lambda\mu)\boldsymbol a|$

　　（2）分配律 $$(\lambda+\mu)\boldsymbol a = \lambda\boldsymbol a+\mu\boldsymbol a \\ \lambda(\boldsymbol a+\boldsymbol b) = \lambda\boldsymbol a+ \lambda\boldsymbol b$$　　证明略。

　　向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算。

　　前面已经讲过，模等于$1$的向量叫做单位向量。设$\boldsymbol e_a$表示与非零向量$\boldsymbol a$同方向的单位向量，那么按照向量与数的乘积的规定，由于$|\boldsymbol a|>0$，所以$|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$与$\boldsymbol e_a$的方向相同，即$|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$与$\boldsymbol a$的方向相同。又因$|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$的模是$$|\boldsymbol a||\boldsymbol e_a|=|\boldsymbol a|\cdot 1=|\boldsymbol a|$$即$|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$与$\boldsymbol a$的模也相同，因此$$\boldsymbol a=|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$$　　我们规定，当$\lambda \neq 0$时，$\frac {\boldsymbol a}{\lambda}=\frac 1 {\lambda}\boldsymbol a$。由此，上式又可以写成$$\frac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|}=\boldsymbol e_a$$这表示一个非零向量除以它的模的结果是一个与原方向同方向的单位向量。

　　由于向量$\lambda\boldsymbol a$与$\boldsymbol a$平行，因此我们常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系。即有$$\mathbf{\textbf{定理1}  \ \textbf{设向量}\boldsymbol a\neq 0，\textbf{则向量}\boldsymbol b\textbf{平行于}\boldsymbol a\textbf{的充分必要条件是：存在唯一的实数}\lambda\textbf{，使}\boldsymbol b=\lambda\boldsymbol a}$$

利用坐标作向量的线性运算

　　利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及向量与数的乘法的运算如下：

　　设$\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z),\boldsymbol b=(b_x,b_y,b_z)$，即$$\boldsymbol a=a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k,\boldsymbol b=b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k$$利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配率，有$$\boldsymbol a+\boldsymbol b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)\\\boldsymbol a-\boldsymbol b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)\\ \lambda\boldsymbol a=(\lambda a_x,\lambda a_y , \lambda a_z)$$由此可见，对向量进行加减即与数的相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。

　　定理1指出，当向量$\boldsymbol a\neq \boldsymbol 0$时，向量$\boldsymbol b//\boldsymbol a$相当于$\boldsymbol b=\lambda\boldsymbol a$，坐标表示式为$$(b_x,b_y,b_z)=\lambda(a_x,a_y,a_z)$$这也就相当于向量$\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$对应的坐标成比例$$\frac{b_x}{a_x}=\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z}$$。

向量的模、方向角、投影

向量的模与两点间的距离公式

　　设向量$\boldsymbol r=(x,y,z)$，作$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol r$，有$$\boldsymbol r=\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}$$按勾股定理可得$$\boldsymbol r=|OM|=\sqrt{|OP|^2+|OQ|^2+|OR|^2}$$又有$$|OP|=|x|,|OQ|=|y|,|OR|=|z|$$于是得向量模的坐标表示式$$|\boldsymbol r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$　　设有点$A(x_1,y_1,z_1)$和点$B(x_2,y_2,z_2)$，则点$A$与点$B$间的距离$|AB|$就是向量$\overrightarrow{AB}$的模。由$$\begin{align} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2,y_2,z_2)-(x_1,y_1,z_1)\\&=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\end{align}$$即得$AB$两点间距离$$|AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

方向角与方向余弦

　　非零向量$\boldsymbol r$与三条坐标轴的夹角$\alpha$、$\beta$、$\gamma$称为向量$\boldsymbol r$的方向角。设$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol r=(x,y,z)$，由于$x$是有向线段$\overrightarrow{OP}$的值，$MP\bot Op$，故$$\cos\alpha=\frac x {|OM|}=\frac x {|\boldsymbol r|}$$从而$$\cos\beta=\frac y {|\boldsymbol r|},\cos\gamma=\frac z {|\boldsymbol r|}$$$\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$称为向量$\boldsymbol r$的方向余弦。上式表明，以向量$\boldsymbol r$的方向余弦为坐标的向量就是与$\boldsymbol r$同方向的单位向量$\boldsymbol e$。并由此可得$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$$

向量在轴上的投影

　　如果撇开$y$轴和$z$轴，单独考虑$x$轴和向量$\boldsymbol r=\overrightarrow{OM}$的关系，那么可以过点$M$作与$x$轴垂直的平面，此平面与$x$轴交点即是点$P$。作出点$P$，即得向量$\boldsymbol r$在$x$轴上分向量$\overrightarrow{OP}$，进而由$\overrightarrow{OP}=x\boldsymbol i$，便得向量在$x$轴上坐标$x$，且$x=|\boldsymbol r|\cos\alpha$。

　　一般地，设点$O$及单位向量$\boldsymbol e$确定$u$轴，任给向量$\boldsymbol r$，作$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol r$，再过点$M$作与$u$轴垂直的平面交$u$轴于点$M'$（点$M'$叫做点$M$在$u$轴上的投影），则向量$\overrightarrow{OM'}$称为向量$\boldsymbol r$在$u$轴上的分向量。设$\overrightarrow{OM'}=\lambda \boldsymbol e$，则数$\lambda$称为向量$\boldsymbol r$在$u$轴上的投影，记作$\mathrm{Prj}_u\boldsymbol r$或$(\boldsymbol r)_u$。

　　按此定义，向量$\boldsymbol a$在直角坐标系$Oxyz$中坐标$a_x$、$a_y$、$a_z$就是$\boldsymbol a$在三条坐标轴上的投影，即$$a_x=\mathrm{Prj}_x\boldsymbol a,a_y=\mathrm{Prj}_y\boldsymbol a,a_z=\mathrm{Prj}_z\boldsymbol a$$或记作$$a_x=(\boldsymbol a)_x,a_y=(\boldsymbol a)_y,a_z=(\boldsymbol a)_z$$　　由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质：$$\textbf{性质1}\ \mathrm{Prj}_u\boldsymbol a=|\boldsymbol a|\cos\varphi\\\textbf{性质2}\  \mathrm{Prj}_u(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\mathrm{Prj}_u\boldsymbol a+\mathrm{Prj}_u\boldsymbol b\\\textbf{性质3}\  \mathrm{Prj}_u(\lambda\boldsymbol a)=\lambda\mathrm{Prj}_u\boldsymbol a$$

　

数量积  向量积  混合积

 

两向量的数量积

　　设一物体在恒力$\boldsymbol F$作用下沿直线从点$M_1$移动到点$M_2$，以$\boldsymbol s$表示位移$\overrightarrow{M_1M_2}$。由物理学知道，力$\boldsymbol F$所做的功为$$W=|\boldsymbol F||\boldsymbol s|\cos\theta$$其中$\theta$为$\boldsymbol F$与$\boldsymbol s$的夹角。

　　从这个问题看出，我们有时要对两个向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$作这样的运算，运算的结果是一个数，它等于$|\boldsymbol a|$、$|\boldsymbol b|$及它们的夹角$\theta$的余弦的乘积。我们把它叫做向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的数量积，记作$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b$，即$$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$$

　　根据这个定义，上述问题中力所作的功$W$是力$\boldsymbol F$与位移$\boldsymbol s$的数量积，即$$W=\boldsymbol F\cdot \boldsymbol s$$　　由于$|\boldsymbol b|\cos\theta=|\boldsymbol b|\cos(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})$，当$\boldsymbol a \neq \boldsymbol 0$时是向量$\boldsymbol b$在向量$\boldsymbol a$的方向上的投影，用$\mathrm{Prj}_a\boldsymbol b$来表示这个投影，便有$$\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a|\mathrm{Prj}_a\boldsymbol b$$同理，当$\boldsymbol b \neq \boldsymbol 0$时有$$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol b|\mathrm{Prj}_b\boldsymbol a$$这就是说，两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积。

　　由数量积的定义可以推得：

　　（1）$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol a = |\boldsymbol a|^2$。

　　（2）对于两个非零向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$，如果$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$，那么$\boldsymbol a\bot\boldsymbol b$；反之，如果$\boldsymbol a\bot\boldsymbol b$，那么$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$。

　　由于可以认为零向量与任何向量都垂直，因此，上述结论可叙述为：向量$\boldsymbol a\bot\boldsymbol b$的充分必要条件是$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$。

　　数量积符合下列运算规律：

　　（1）交换律  $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$

　　（2）分配律  $(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c$

　　（3）结合律  $(\lambda\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$，$\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$

　　由上述结合律，利用交换律，容易推得：$$\boldsymbol a\cdot(\lambda\boldsymbol b)=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)及(\lambda\boldsymbol a)\cdot(\mu\boldsymbol b)=\lambda\mu(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$$

　　下面我们来推导数量积的坐标表示式。

　　设$\boldsymbol a=a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k,\boldsymbol b=b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k$，按数量积的运算规律可得$$\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b&=(a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k)\cdot(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)\\ &=a_x\boldsymbol i\cdot(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)+a_y\boldsymbol j\cdot(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)+a_z\boldsymbol k\cdot(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)\\&=a_xb_x\boldsymbol i\cdot\boldsymbol i+a_xb_y\boldsymbol i\cdot\boldsymbol j+a_xb_z\boldsymbol j\cdot\boldsymbol k+\\&\ \ \ \ \ a_yb_x\boldsymbol j\cdot\boldsymbol i+a_yb_y\boldsymbol j\cdot\boldsymbol j+a_yb_z\boldsymbol j\cdot\boldsymbol k+\\&\ \ \ \ \ a_zb_x\boldsymbol k\cdot\boldsymbol i+a_zb_y\boldsymbol k\cdot\boldsymbol j+a_zb_z\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k\end{aligned}\end{equation} $$因为$\boldsymbol i$、$\boldsymbol j$和$\boldsymbol k$互相垂直，所以$\boldsymbol i\cdot\boldsymbol j=\boldsymbol j\cdot\boldsymbol k=\boldsymbol k\cdot\boldsymbol i=0$，又因为$\boldsymbol i$、$\boldsymbol j$和$\boldsymbol k$的模均为$1$，所以$\boldsymbol i\cdot\boldsymbol i=\boldsymbol j\cdot\boldsymbol j=\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k=1$，因而得$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$$这就是两个向量数量积的坐标表达式。

　　因为$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$，所以当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$都不是零向量时，有$$\cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}$$　　将数量积的坐标表示式及向量的模的坐标表示式代入上式，就得$$\cos\theta=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$$这就是两向量夹角余弦的坐标表示式。

两向量的向量积

　　在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩。下面就举一个简单的例子来说明表达力矩的方法。

　　设$O$为一根杠杆$L$的支点，有一个力$\boldsymbol F$作用于这杠杆上$P$点处，$OQ\bot\boldsymbol F$于$Q$。$\boldsymbol F$与$\overrightarrow{OP}$的夹角为$\theta$。由力学规定，力$\boldsymbol F$对支点$O$的力矩是一向量$\boldsymbol M$，它的模$$|\boldsymbol M|=|OQ||\boldsymbol F|=|\overrightarrow{OP}||\boldsymbol F|\sin\theta$$而$\boldsymbol M$的方向垂直于$\overrightarrow{OP}$与$\boldsymbol F$所决定的平面，$\boldsymbol M$的指向是按右手规则从$\overrightarrow{OP}$以不超过$\pi$的角转向$\boldsymbol F$来确定的，即当右手的四个手指从$\overrightarrow{OP}$以不超过$\pi$的角转向$\boldsymbol F$握拳时，大拇指的指向就是$\boldsymbol M$的指向。

　　这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况，在其他力学和物理问题中也会遇到。于是从中抽象出两个向量的向量积概念。

　　设向量$\boldsymbol c$由两个向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$按下列方式给出：

　　$\boldsymbol c$的模$|\boldsymbol c|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\theta$，其中$\theta$为$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$间的夹角；$\boldsymbol c$的方向垂直于$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$所决定的平面，$\boldsymbol c$的指向按右手规则从$\boldsymbol a$转向$\boldsymbol b$来确定，向量$\boldsymbol c$叫做向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的向量积，记作$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$，即$$\boldsymbol c=\boldsymbol a\times\boldsymbol b$$　　按此定义，上面的力矩$\boldsymbol M$等于$\overrightarrow{OP}$与$\boldsymbol F$的向量积，即$$\boldsymbol M=\overrightarrow{OP}\times\boldsymbol F$$　　由向量积的定义可以推得：

　　（1）$\boldsymbol a\times\boldsymbol a=\boldsymbol 0$

　　（2）对于两个非零向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$，如果$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0$，那么$\boldsymbol a//\boldsymbol b$；反之，如果$\boldsymbol a//\boldsymbol b$，那么$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0$

　　由于可以认为零向量与任何向量都平行，因此，上述结论可叙述为：向量$\boldsymbol a//\boldsymbol b$的充分必要条件是$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0$

　　向量积符合下列运算规律：

　　（1）$\boldsymbol b\times\boldsymbol a=-\boldsymbol a\times\boldsymbol b$

　　（2）分配律  $(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\times \boldsymbol c=\boldsymbol a\times\boldsymbol c+\boldsymbol b\times\boldsymbol c$

　　（3）结合律  $(\lambda\boldsymbol a)\times \boldsymbol b=\boldsymbol a\times(\lambda\boldsymbol b)=\lambda(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)$

　　下面来推导向量积的坐标表示式

　　设$\boldsymbol a=a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k,\boldsymbol b=b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k$，那么，按照上述运算规律，得$$\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol a\times\boldsymbol b&=(a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k)\times(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)\\&=a_x\boldsymbol i\times(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)+\\&\ \ \ \ \ a_y\boldsymbol j\times(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)+a_z\boldsymbol k\times(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)\\&=a_xb_x(\boldsymbol i\times\boldsymbol i)+a_xb_y(\boldsymbol i\times\boldsymbol j)+a_xb_z(\boldsymbol i\times\boldsymbol k)+\\&\ \ \ \ \ a_yb_x(\boldsymbol j\times\boldsymbol i)+a_yb_y(\boldsymbol j\times\boldsymbol j)+a_yb_z(\boldsymbol j\times\boldsymbol k)+\\&\ \ \ \ \ a_zb_x(\boldsymbol k\times\boldsymbol i)+a_zb_y(\boldsymbol k\times\boldsymbol j)+a_zb_z(\boldsymbol k\times\boldsymbol k)\end{aligned}\end{equation}$$因为$\boldsymbol i\times\boldsymbol i=\boldsymbol j\times\boldsymbol j=\boldsymbol k\times\boldsymbol k=\boldsymbol 0$、$\boldsymbol i\times\boldsymbol j=\boldsymbol k$、$\boldsymbol j\times\boldsymbol k=\boldsymbol i$、$\boldsymbol k\times\boldsymbol i=\boldsymbol j$、$\boldsymbol j\times\boldsymbol i=-\boldsymbol k$、$\boldsymbol k\times\boldsymbol j=-\boldsymbol i$和$\boldsymbol i\times\boldsymbol k=-\boldsymbol j$，所以$$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(a_yb_z-a_zb_y)\boldsymbol i+(a_zb_x-a_xb_z)\boldsymbol j+(a_xb_y-a_yb_x)\boldsymbol k$$　　为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可写成$$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\begin{vmatrix}\boldsymbol i &\boldsymbol j &\boldsymbol k \\a_x &a_y &a_z \\ b_x &b_y &b_z \end{vmatrix}$$

向量的混合积

　　设已知三个向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$和$\boldsymbol c$。先作两向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$的数量积$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$，把所得到的向量与第三个向量$\boldsymbol c$再做数量积$(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c$，这样得到的数量叫做三向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$的混合积，记作$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]$。

　　下面我们来推出三向量的坐标表达式。

　　设$\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z),\boldsymbol b=(b_x,b_y,b_z),\boldsymbol c=(c_x,c_y,c_z)$，因为$$\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol a\times\boldsymbol b&=\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j  &\boldsymbol k \\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y &b_z\end{vmatrix}\boldsymbol i-\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x &b_z\end{vmatrix}\boldsymbol j+\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x &b_y\end{vmatrix}\boldsymbol k\end{aligned}\end{equation}$$再按两向量数量积的坐标表示式，便得$$\begin{equation}\begin{aligned} \left [ \boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c\right]&=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c\\&=c_x\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}-c_y\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}+c_z\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}\end{aligned}\end{equation}$$

　　向量的混合积有下述几何意义：

　　向量的混合积$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c$是这样一个数，它的绝对值表示以向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$为棱的平行六面体的体积。如果向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$组成右手系（即$\boldsymbol c$的指向按右手规则从$\boldsymbol a$转向$\boldsymbol b$来确定），那么混合积的符号是正的；如果$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$组成左手系（即$\boldsymbol c$的指向按左手规则从$\boldsymbol a$转向$\boldsymbol b$来确定），那么混合积的符号是负的。

　　事实上，设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b,\overrightarrow{OC}=\boldsymbol c$。按向量积的定义，向量积$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol f$是一个向量，它的模在数值上等于向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$为边所做平行四边形$OADB$的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$组成右手系时，向量$\boldsymbol f$与向量$\boldsymbol c$朝着这平面同侧；当$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$组成左手系时，向量$\boldsymbol f$与向量$\boldsymbol c$朝着这平面异侧。所以，如设$\boldsymbol f$与$\boldsymbol c$的夹角为$\alpha$，那么当$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$组成右手系时，$\alpha$为锐角；当$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$组成左手系时，$\alpha$为钝角。由于$$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=|\boldsymbol a\times\boldsymbol b||\boldsymbol c|\cos\alpha$$所以当$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$组成右手系时，$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]$为正；当$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$组成左手系时，$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]$为负。

　　因为以向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$为棱的平行六面体的底（平行四边形$OADB$）的面积$S$在数值上等于$|$\boldsymbol a\times$\boldsymbol b|$，它的高$h$等于向量$\boldsymbol c$在向量$\boldsymbol f$上的投影的绝对值，即$$h=|\mathrm{Prj}_{\boldsymbol f}\boldsymbol c|=|\boldsymbol c||\cos\alpha|$$所以平行六面体的体积$$V=Sh=|\boldsymbol a\times\boldsymbol b||\boldsymbol c||\cos\alpha|=|[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]|$$　　由上述混合积的几何意义可知，若混合积$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]\neq 0$，则能以$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$三向量为棱构成平行六面体，从而$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$不共面；反之，若$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$三向量不共面，则必能以$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$为棱构成平行六面体，从而$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]\neq 0$。于是有下述结论：

　　三向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$共面的充分必要条件是它们的混合积$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c] = 0$，即$$\begin{vmatrix}a_x &a_y  &a_z \\ b_x&b_y  &b_z \\ c_x&c_y  &c_z\end{vmatrix}=0$$

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