数论基础，欧几里得定理

定理 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

证明

设c=gcd(a,b)，那么a可以表示为mc，b可以表示为nc的形式。然后令a=kb+r，那么我们就只需要证明gcd(b,r)=c即可。

∵r=a−kb=mc−knc，∴gcd(b,r)=gcd(nc,mc−knc)=gcd(nc,(m−kn)c)，所以我们只需要证gcd(n,m−kn)=1即可。

设n=xd,m−kn=yd，那么m=kn+yd=kxd+yd，进而a=(kx+y)cd,b=xcd，

于是gcd(a,b)就可以表示为gcd((kx+y)cd,xcd)=cd，

如果要让它等于c，那么d=1，即gcd(n,m−kn)=1。

代码

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

标签：gcd,数论,欧几里得,nc,kn,yd,int,cd,定理
来源： https://www.cnblogs.com/PDY08/p/15160310.html