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函数||齐次||线性||线性组合||的数理概念

作者:互联网

目录:

一、函数与方程

二、齐次与非齐次

三、线性与非线性

四、线性组合



一、函数与方程

什么是函数?什么是方程?

1) 函数

函数(function)的近代定义是:

给定一个数集 A A A,假设其中的元素为 x x x,对 A A A中的元素 x x x施加对应法则 f f f,记作 f ( x ) f(x) f(x),得到另一数集 B B B,假设 B B B中的元素为 y y y,则 y y y与 x x x之间的等量关系可以用 y = f ( x ) , ( x ∈ A ) y=f(x),(x\in A) y=f(x),(x∈A)表示。

可以明确两点:

(1) x x x是自变量, y y y是因变量(函数值)。 x x x与 y y y之间是因果关系。

自变量和因变量可以看作是“地位”不同

(2)给定自变量通过映射(法则 f f f)有唯一的因变量与之对应。

简言之就是一个 x x x只能与唯一一个 y y y相对应

2) 方程

方程(equation)是指含有包含一个或多个未知数等式

(方程一定是等式,但等式不一定是方程,1+1=2不含未知数,故非方程)

形如: f ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ) = g ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ) f(x_1,x_2,···x_n) = g(x_1,x_2,···x_n) f(x1​,x2​,⋅⋅⋅xn​)=g(x1​,x2​,⋅⋅⋅xn​),其中 f ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ) f(x_1,x_2,···x_n) f(x1​,x2​,⋅⋅⋅xn​)和 g ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ) g(x_1,x_2,···x_n) g(x1​,x2​,⋅⋅⋅xn​)在两者定义域的交集内研究的两个解析式,且至少有一个不是常数。

如: x 1 + x 2 ∗ 10 = 13 + x 2 ∗ 5 x_1+x_2*10 = 13 + x_2*5 x1​+x2​∗10=13+x2​∗5

同样明确两点:

(1)方程左右两边的未知数“地位”是相等的

(2)方程是未知数关系等式

3) 函数和方程的联系与区别

联系:

(1)函数和方程都是由代数式组成,一定条件下可以互相转化

(2)函数可以写成方程的形态

y = x + 10 y = x + 10 y=x+10 写成 f ( x , y ) = 10 f(x,y) = 10 f(x,y)=10

(3)但是某些情况下,方程不一定可以写成函数形态

如:圆的方程式 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2 = 1 x2+y2=1,无法写成函数形态 y = ± 1 − x 2 , x ∈ ( − 1 , 1 ) y =\pm\sqrt{1 - x^2},x\in(-1,1) y=±1−x2 ​,x∈(−1,1)。因为违背了因变量唯一性。

区别:

(1)从定义上看

函数中的未知数 x , y x,y x,y是变量, x x x取自一个集合, y y y随之变化

方程中的未知数 x i x_i xi​是一个常量。虽然, x i x_i xi​可以有多个取值,但抽象看, x i x_i xi​就是一个促使等式成立的常量

(2)从应用上看

函数:更多的是体现因变量 y y y随着自变量 x x x的变化而变化的趋势,表现为函数性态、最值等

方程:则较多应用于解决一些实际问题。体现为解决问题的这个过程。

比如:由实际问题,得到一个函数表达式 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x),转化为方程 f ( x , y ) = 0 f(x,y) = 0 f(x,y)=0,再依据未知数 x x x的取值,得到 y y y的数值集合


二、齐次与非齐次

在微分方程,线性代数等科目中都有这个概念。

齐次:含义是“次数相等”。一般两个及以上的项,才可以进行比较次数的大小

举例:所有项只含: x k , y k , x y k − 1 x^k,y^k,xy^{k-1} xk,yk,xyk−1等项,次数和为k。不含 x m , y p x^m,y^p xm,yp等次数和不等于k的项

齐次性:如果变数乘以一个系数k,则新函数会是原函数的k倍

举例:

齐次方程: a x + b y = 0 ax + by = 0 ax+by=0

齐次函数: f ( x , y ) = a x + b y f(x,y) = ax + by f(x,y)=ax+by

x − > k x , y − > k y x->kx,y->ky x−>kx,y−>ky,则

齐次方程为: a k x + b k y = 0 = k ( a x + b y ) akx + bky = 0 = k(ax + by) akx+bky=0=k(ax+by)

齐次函数为: f ( k x , k y ) = a k x + b k y = k f ( x , y ) f(kx,ky) = akx + bky = kf(x,y) f(kx,ky)=akx+bky=kf(x,y)

一般地,在数学里面,如果一个函数的自变量乘以一个系数k,那么这个函数将乘以这个系数k的n次方,我们称 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为n次齐次函数。n=1时,才具有齐次性。

如, f ( x ) = x n f(x) = x^n f(x)=xn, x − > k x x->kx x−>kx, f ( k x ) = k n x n f(kx) = k^nx^n f(kx)=knxn



与上面不吻合的情况,称之为非齐次性

三、线性与非线性

线性:
一般说的线性,为线性映射,是一个函数,而非方程。

直观上:可以理解为 x o y x_oy xo​y坐标轴上的一条直线

数理上:须满足两个条件

(1)齐次性——> f ( k x ) = k f ( x ) f(kx) = kf(x) f(kx)=kf(x)

(2)可加性——> f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) f(x1​+x2​)=f(x1​)+f(x2​)

综上,线性函数即为满足下式性质的函数:

f ( a x 1 + b x 2 ) = f ( a x 1 ) + f ( b x 2 ) = a f ( x 1 ) + b f ( x 2 ) f(ax_1+bx_2) = f(ax_1)+f(bx_2) = af(x_1) + bf(x_2) f(ax1​+bx2​)=f(ax1​)+f(bx2​)=af(x1​)+bf(x2​)



不同时满足上述两个条件的函数就是非线性函数

四、线性组合

线性组合是线性代数中的一个概念。代表一些抽象的向量各自乘上一个标量后再相加。

如果存在有限多个向量 v i v_i vi​属于 S S S,和对应的标量 a 1 , a 2 , ⋯   , a n {a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} a1​,a2​,⋯,an​属于 F F F,使得 V = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + + a n v n V = a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+ +a_{n}v_{n} V=a1​v1​+a2​v2​+a3​v3​++an​vn​,则称 V V V是 S S S的线性组合。——维基百科


这里是从线代角度讲的。我个人理解其中很有高等数学中的线性含义,即含有齐次性和可加性。


以上是几个数理概念的区分整理,以及引出“线性组合”这个概念。为后续整理线性模型的相关算法做准备


水平有限,如有错误,还望指正!

标签:10,方程,函数,线性组合,齐次,数理,x2,kx
来源: https://blog.csdn.net/lixc316/article/details/119328933