函数||齐次||线性||线性组合||的数理概念
作者：互联网
目录：
一、函数与方程
二、齐次与非齐次
三、线性与非线性
四、线性组合
一、函数与方程
什么是函数？什么是方程？
1) 函数
函数(function)的近代定义是:
给定一个数集 A A A，假设其中的元素为 x x x，对 A A A中的元素 x x x施加对应法则 f f f，记作 f ( x ) f(x) f(x)，得到另一数集 B B B，假设 B B B中的元素为 y y y，则 y y y与 x x x之间的等量关系可以用 y = f ( x ) , ( x ∈ A ) y=f(x),(x\in A) y=f(x),(x∈A)表示。
可以明确两点：
(1) x x x是自变量， y y y是因变量(函数值)。 x x x与 y y y之间是因果关系。
自变量和因变量可以看作是“地位”不同
(2)给定自变量通过映射(法则 f f f)有唯一的因变量与之对应。
简言之就是一个 x x x只能与唯一一个 y y y相对应
2) 方程
方程(equation)是指含有包含一个或多个未知数的等式。
(方程一定是等式，但等式不一定是方程，1+1=2不含未知数，故非方程)
形如： f ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ) = g ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ) f(x_1,x_2,···x_n) = g(x_1,x_2,···x_n) f(x1,x2,⋅⋅⋅xn)=g(x1,x2,⋅⋅⋅xn)，其中 f ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ) f(x_1,x_2,···x_n) f(x1,x2,⋅⋅⋅xn)和 g ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ) g(x_1,x_2,···x_n) g(x1,x2,⋅⋅⋅xn)在两者定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常数。
如： x 1 + x 2 ∗ 10 = 13 + x 2 ∗ 5 x_1+x_2*10 = 13 + x_2*5 x1+x2∗10=13+x2∗5
同样明确两点：
(1)方程左右两边的未知数“地位”是相等的
(2)方程是未知数的关系等式
3) 函数和方程的联系与区别
联系：
(1)函数和方程都是由代数式组成，一定条件下可以互相转化
(2)函数可以写成方程的形态
y = x + 10 y = x + 10 y=x+10 写成 f ( x , y ) = 10 f(x,y) = 10 f(x,y)=10
(3)但是某些情况下，方程不一定可以写成函数形态
如:圆的方程式 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2 = 1 x2+y2=1，无法写成函数形态 y = ± 1 − x 2 , x ∈ ( − 1 , 1 ) y =\pm\sqrt{1 - x^2},x\in(-1,1) y=±1−x2 ,x∈(−1,1)。因为违背了因变量唯一性。
区别：
(1)从定义上看
函数中的未知数 x , y x,y x,y是变量， x x x取自一个集合， y y y随之变化
方程中的未知数 x i x_i xi是一个常量。虽然, x i x_i xi可以有多个取值，但抽象看， x i x_i xi就是一个促使等式成立的常量
(2)从应用上看
函数：更多的是体现因变量 y y y随着自变量 x x x的变化而变化的趋势，表现为函数性态、最值等
方程：则较多应用于解决一些实际问题。体现为解决问题的这个过程。
比如：由实际问题，得到一个函数表达式 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)，转化为方程 f ( x , y ) = 0 f(x,y) = 0 f(x,y)=0，再依据未知数 x x x的取值，得到 y y y的数值集合
二、齐次与非齐次
在微分方程，线性代数等科目中都有这个概念。
齐次：含义是“次数相等”。一般两个及以上的项，才可以进行比较次数的大小
举例：所有项只含： x k , y k , x y k − 1 x^k,y^k,xy^{k-1} xk,yk,xyk−1等项，次数和为k。不含 x m , y p x^m,y^p xm,yp等次数和不等于k的项
齐次性：如果变数乘以一个系数k，则新函数会是原函数的k倍
举例：
齐次方程： a x + b y = 0 ax + by = 0 ax+by=0
齐次函数： f ( x , y ) = a x + b y f(x,y) = ax + by f(x,y)=ax+by
x − > k x , y − > k y x->kx,y->ky x−>kx,y−>ky，则
齐次方程为： a k x + b k y = 0 = k ( a x + b y ) akx + bky = 0 = k(ax + by) akx+bky=0=k(ax+by)
齐次函数为： f ( k x , k y ) = a k x + b k y = k f ( x , y ) f(kx,ky) = akx + bky = kf(x,y) f(kx,ky)=akx+bky=kf(x,y)
一般地，在数学里面，如果一个函数的自变量乘以一个系数k，那么这个函数将乘以这个系数k的n次方，我们称 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为n次齐次函数。n=1时，才具有齐次性。
如， f ( x ) = x n f(x) = x^n f(x)=xn， x − > k x x->kx x−>kx， f ( k x ) = k n x n f(kx) = k^nx^n f(kx)=knxn
与上面不吻合的情况，称之为非齐次性
三、线性与非线性
线性：
一般说的线性，为线性映射，是一个函数，而非方程。
直观上：可以理解为 x o y x_oy xoy坐标轴上的一条直线
数理上：须满足两个条件
(1)齐次性——> f ( k x ) = k f ( x ) f(kx) = kf(x) f(kx)=kf(x)
(2)可加性——> f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
综上，线性函数即为满足下式性质的函数:
f ( a x 1 + b x 2 ) = f ( a x 1 ) + f ( b x 2 ) = a f ( x 1 ) + b f ( x 2 ) f(ax_1+bx_2) = f(ax_1)+f(bx_2) = af(x_1) + bf(x_2) f(ax1+bx2)=f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+bf(x2)
不同时满足上述两个条件的函数就是非线性函数
四、线性组合
线性组合是线性代数中的一个概念。代表一些抽象的向量各自乘上一个标量后再相加。
如果存在有限多个向量 v i v_i vi属于 S S S，和对应的标量 a 1 , a 2 , ⋯ , a n {a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} a1,a2,⋯,an属于 F F F，使得 V = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + + a n v n V = a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+ +a_{n}v_{n} V=a1v1+a2v2+a3v3++anvn，则称 V V V是 S S S的线性组合。——维基百科
这里是从线代角度讲的。我个人理解其中很有高等数学中的线性含义，即含有齐次性和可加性。
以上是几个数理概念的区分整理，以及引出“线性组合”这个概念。为后续整理线性模型的相关算法做准备
水平有限，如有错误，还望指正！
标签：10,方程,函数,线性组合,齐次,数理,x2,kx 来源： https://blog.csdn.net/lixc316/article/details/119328933