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13.经典动态规划:0-1背包的变体

作者:互联网

子集切分问题(LeetCode 416 难度:中等)

描述

对于这个问题,看起来和背包没有任何关系,为什么说它是背包问题呢?

首先回忆一下背包问题大致的描述是什么:

给你一个可装载重量为W的背包和N个物品,每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i],价值为val[i],现在让你用这个背包装物品,最多能装的价值是多少?

那么对于这个问题,我们可以先对集合求和,得出sum,把问题转化为背包问题:

给一个可装载重量为sum/2的背包和N个物品,每个物品的重量为nums[i]。现在让你装物品,是否存在一种装法,能够恰好将背包装满

你看,这就是背包问题的模型,甚至比我们之前的经典背包问题还要简单一些,下面我们就直接转换成背包问题,开始套前文讲过的背包问题框架即可。

解法分析

第一步要明确两点,「状态」和「选择」

状态就是「背包的容量」「可选择的物品」,选择就是「装进背包」或者「不装进背包」

第二步要明确dp数组的定义

按照背包问题的套路,可以给出如下定义:

dp[i][j] = x表示,对于前i个物品,当前背包的容量为j时,若xtrue,则说明可以恰好将背包装满,若xfalse,则说明不能恰好将背包装满。

比如说,如果dp[4][9] = true,其含义为:对于容量为 9 的背包,若只是用前 4 个物品,可以有一种方法把背包恰好装满。

或者说对于本题,含义是对于给定的集合中,若只对前 4 个数字进行选择,存在一个子集的和可以恰好凑出 9。

根据这个定义,我们想求的最终答案就是dp[N][sum/2],base case 就是dp[..][0] = truedp[0][..] = false,因为背包没有空间的时候,就相当于装满了,而当没有物品可选择的时候,肯定没办法装满背包。

第三步,根据「选择」,思考状态转移的逻辑

回想刚才的dp数组含义,可以根据「选择」对dp[i][j]得到以下状态转移:

如果不把nums[i]算入子集,或者说你不把这第i个物品装入背包,那么是否能够恰好装满背包,取决于上一个状态dp[i-1][j],继承之前的结果。

如果把nums[i]算入子集,或者说你把这第i个物品装入了背包,那么是否能够恰好装满背包,取决于状态dp[i - 1][j-nums[i-1]]

首先,由于i是从 1 开始的,而数组索引是从 0 开始的,所以第i个物品的重量应该是nums[i-1],这一点不要搞混。

dp[i - 1][j-nums[i-1]]也很好理解:你如果装了第i个物品,就要看背包的剩余重量j - nums[i-1]限制下是否能够被恰好装满。

换句话说,如果j - nums[i-1]的重量可以被恰好装满,那么只要把第i个物品装进去,也可恰好装满j的重量;否则的话,重量j肯定是装不满的。

最后一步,把伪码翻译成代码,处理一些边界情况

以下是我的 C++ 代码,完全翻译了之前的思路,并处理了一些边界情况:

bool canPartition(vector<int>& nums) {  
 int sum = 0;  
 for (int num : nums) sum += num;  
 // 和为奇数时,不可能划分成两个和相等的集合  
 if (sum % 2 != 0) return false;  
 int n = nums.size();  
 sum = sum / 2;  
 vector<vector<bool>>   
 dp(n + 1, vector<bool>(sum + 1, false));  
 // base case  
 for (int i = 0; i <= n; i++)  
 	dp[i][0] = true;  
  
 for (int i = 1; i <= n; i++) {  
 	for (int j = 1; j <= sum; j++) {  
 		if (j - nums[i - 1] < 0) {  
 			// 背包容量不足,不能装入第 i 个物品  
 			dp[i][j] = dp[i - 1][j];   
 		} else {  
 			// 装入或不装入背包  
 			dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j-nums[i-1]];  
 		}  
 	}  
 }  
 return dp[n][sum];  
}

标签:13,背包,nums,sum,装满,物品,变体,dp
来源: https://www.cnblogs.com/sjqbky/p/15019521.html