背包9讲——完全背包问题及变种问题
作者：互联网
完全背包问题
经典题目
与01背包不同的是，我们可以将物体无限制放入，01背包是只允许放入一件件，其他条件同理，问在不超过背包体积的限制下，怎么使得背包内物体价值最大。
基本思路
当然我们可以用贪心算法，算出单位体积最大价值，再依次递减直到无法放入，但是如果我们用动态规划思路，同样我们需要给出状态转移方程。
同样我们定义一个二维数组，下标分别记为i和v，则F[i][v]表示在前i件物品中体积为v是的最大价值。那么我们要求的就是放入所有物体后的最大体积
假使我们到第i个物体时候，我们知道第前i-1个物体在不同v下的最大价值，也就是F[i-1][V]都知道；那么我们第i个物体就有很多种选择方式，假设有k种选择，那么k满足以以下条件
0
<
=
k
V
i
<
=
V
0<=kVi<=V
0<=kVi<=V
其中v是我们背包的最大体积；Ci是第i物体的体积；
那么我们取到第i个时候哦就只需要针对这k种选择方式取最大值，即：
F
[
i
]
[
v
]
=
m
a
x
F
[
i
−
1
]
[
V
−
K
V
i
]
+
k
W
i
∣
0
<
=
k
V
i
<
=
V
F[i][v]=max{F[i-1][V-KVi]+kWi|0<=kVi<=V}
F[i][v]=maxF[i−1][V−KVi]+kWi∣0<=kVi<=V
复杂度
时间复杂度
这个跟01背包问题一样有O(VN)个状态需要求解，每个的复杂度如果忽略可以表示为O(NV)；
空间复杂度
跟01背包一样都是O(VN)，但是其实可以优化
优化时间复杂度
有一个简单的优化方式，用一对值来记录已经考虑的空间和价值，如果后续发现有一个值的空间大于记录的空间值，并且它的价值小于记录的价值，那么我们直接i+1，就当这个物体不存在；
如果后续有一个物体的空间小于记录的值，价值大于记录的值，那么我们更新这一对值；
显然这种优化方式对最坏时间复杂度没有什么帮助，仅仅只是优化了最好和平均。
这里我们只考虑对动态规划的时间复杂优化，贪心算法不考虑
01背包转化
很简单，我们把第i个物品能够放进去的个数分别做成一个新的物体，拆成k个值，这样问题就转化为了01背包问题，但是这种方式完全没有改进时间复杂度，并且加大了空间复杂度，
值得注意的是：我们其实不需要每个k都写出来，因为我们知道只要按照二进制进行不断地乘2，那么这些数总能组成任意k个数的组合，因此这样可以优化一部分空间复杂度；
优化空间复杂度
同01背包问题，我们可以用一维数组来表示二维数组，一维数组的脚标表示不同的体积下对应最大价值；那我们同样可以用以下方法更新v;
F
[
v
]
=
m
a
x
(
F
[
v
]
,
F
[
v
−
V
i
]
+
W
i
)
F[v]=max(F[v],F[v-Vi]+Wi)
F[v]=max(F[v],F[v−Vi]+Wi)
问题是如何定义外围循环，我们先想想01背包是如何简化的，他是为了保证每次访问到的F[i]都是从F[i-1]递推而来的，所以从最大v递减，从而不会更新F的值，这种处理方式正是为了避免我们多次从数组中拿同一个对象；
而完全背包恰好相反，我们可以依赖更新后的值，因此我们只需要将对空间的遍历反过来就行了，也就是这样：
上面也就知道对v的遍历次序反过来了而已；
变种题目
https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/
https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/
上面的讲解比我讲得好，各位看看解析就可以了
标签：背包,变种,复杂度,问题,01,物体,优化,我们 来源： https://blog.csdn.net/weixin_42034081/article/details/118383763