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原根

作者:互联网

设 \(p\) 原根为 \(g\),则 \(g^{\phi(p)}\equiv1(mod\ p)\),且 \(\forall 0<i<\phi(p),\ g^i\not\equiv0(mod\ p)\)。


\(n\) 有原根,当且仅当 \(n=2,\ 4,\ p^k,\ 2p^k\),\(p\) 为奇质数。


对于 \(n\) 来说,设最小的原根为 \(g_0\),则任意一个原根 \(g=g_0^k\),\(gcd(k,\phi(n))=1\)。


\(n\) 的最小的原根为 \(n^{0.25}\) 级别。


检查一个数是否为原根:枚举 \(\phi(n)\) 的所有真因数。

实际上只用检查所有的 \(\frac{\phi(n)}{p}\) 即可,\(p|\phi(n)\),且是奇质数。

因为如果 \(a^{pq}\not\equiv1(mod\ n)\),则 \(a^p\not\equiv1(mod\ n)\)。

标签:phi,原根,质数,原根为,equiv1,mod
来源: https://www.cnblogs.com/oisdoaiu/p/14929500.html