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高等数学 连续与间断

作者:互联网

一、函数的连续性

定义:

(1)一点连续

设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义,如果

                           

那么就称函数f(x)在点x0连续。

(2)闭区间连续

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续。

二、函数的间断点

定义:

设函数f(x)在点x0的某去心领域内有定义,在此前提下,如果函数f(x)有下列三种情形之一:

  1. 在x=x0没有定义
  2. 虽在x=x0有定义,但l不存在
  3. 虽在x=x0有定义,且)存在,但)

那么函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。

分类:

第一类:存在f(a-0)、f(a+0)

当f(a-0)=f(a+0) ()时,a为可去间断点

当f(a-0) f(a+0)时,a为跳跃间断点。

第二类:f(a-0)、f(a+0)至少一个存在

无穷间断点和振荡间断点是第二类间断点。

三、闭区间上连续函数的性质

1.最大值与最小值定理

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值。

如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间不一定有最大值和最小值。

 

2.有界性

在闭区间上连续的函数在该区间有界。

如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间不一定有界。

3.零点定理

如果x0使f(x0)=0,那么x0称为函数f(x)的零点。

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则开区间(a,b)内至少有一点ϑ,使

                f(ϑ)=0

4.介值定理

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值

f(a)=A   及  f(b)=B

则对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ϑ,使得

 f(ϑ)=C  (a<ϑ<b)

推论:在区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M],其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值。

 

标签:函数,间断,连续,区间,开区间,x0,高等数学
来源: https://blog.csdn.net/June19/article/details/86521753