1. 定义

范德蒙德行列式定义为：

\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) \equiv \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x^2_1 & x^2_2 & \cdots & x^2_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2 & \cdots & x^{n-1}_n \end{matrix} \right| \]

可以证明，范德蒙德行列式等于

\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i>j} (x_i - x_j). \]

2. 证明

行列式中一行加上另一行的倍数，整个行列式的值不变。这个可以目测得到，这里就不写证明了。利用这个结论，对 Vander Monde 行列式进行行变换：

\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & (x_2 - x_1)x^{n-2}_2 & \cdots & (x_n-x_1)x^{n-2}_n \end{matrix} \right|\\ = (x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x^2_2 & x^2_3 & \cdots & x^2_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x^{n-2}_2 & x^{n-2}_3 & \cdots & x^{n-2}_n \end{matrix} \right|， \]

如此递推下去，即得

\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i>j}(x_i - x_j). \]

3. 应用：置换群群元的奇偶性

若有置换群元

\[R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ r_1 & r_2 & \cdots & r_n \end{pmatrix}, \]

现在定义，R 作用在 Vande Monde 行列式上，使它变为

\[R V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = V(x_{r_1}, x_{r_2}, \cdots, x_{r_n})， \]

上式右边是一个确定的值，而 \(R\) 若写成对换的连乘，由于每次对换给 Vander Monde 行列式添加一个负号，所以 \(R\) 的对换连乘形式中，对换个数的奇偶性一定是唯一的，不会因为对换形式（不唯一）的改变而改变。

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