算法设计——矩阵连乘问题
作者：互联网
白天什么也没学，晚上才终于拿着笔，对着代码，写写画画，终于看明白是怎么计算的了。
以这6个矩阵连乘作为例子
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| 30*35 | 35*15 | 15*5 | 5*10 | 10*20 | 20*25 |
1 首先，要明白两个矩阵相乘所需要做的乘法次数：
2 由于连乘的矩阵必须满足，前一个矩阵的列数=后一个矩阵的行数，所以可以使用一个数组来存储连乘矩阵的行列数：
p[7]={30,35,15,5,10,20,25}；
3 分析最优解的结构：
A[i:j]表示矩阵i到矩阵j的连乘，那么A[i:j]=A[i:k]+A[k+1:j]+p[i-1]*p[k]*p[j]（这两个矩阵相乘所需的乘法次数）；
如果A[i:j]的所需要的乘法次数是最少的，那么A[i:k]和A[k+1:j]所需要的乘法次数也应该是最少的，否则A[i:j]就不是最优的，所以满足最优子结构性质；
4 建立递归关系：
m[i][j]表示矩阵i连乘到矩阵j的最少乘次数，那么原问题的最优值是m[1,n]；
当i=j时，为单个矩阵，m[i][i]=0；
当i<j时，利用最优子结构性质来计算；
获得以下递归定义：
m[i][j]=0; i=j
m[i][j]=mini<=k<j{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]}; i<j
如果需要得出最优解的加括号结果，需要另一个二维数组s[i][j]，用于记录使m[i][j]获得最优解的断点，k值；
5 分析代码
1 int m[8][8]={0},s[8][8]={0};
2
3 void MaxtrixChain(int *p,int n){
4 for(int i=1;i<=n;i++) m[i][i]=0;
5 for(int r=2;r<=n;r++)
6 for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
7 int j=i+r-1;
8 m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
9 s[i][j]=i;
10
11 for(int k=i+1;k<j;k++){
12 int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
13 if(t<m[i][j]){
14 m[i][j]=t;
15 s[i][j]=k;
16 }
17 }
18 }
19 }
书上写了“依据其递归式自底向上的方式进行计算”，没拿出笔画之前，我真的没看懂这句话到底是怎么自底向上的，于是我要开始写写画画了；
我们先暂时只看下面这部分代码：
void MaxtrixChain(int *p,int n){
for(int i=1;i<=n;i++) m[i][i]=0;
for(int r=2;r<=n;r++){
for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
int j=i+r-1;
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
}
}
}
具体用数据分析一下
把右图补充完整，将得到以下结果：这是我理解的自底向上地计算；
接下来看另一部分代码：
for(int r=2;r<=n;r++){
for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
int j=i+r-1;
for(int k=i+1;k<j;k++){
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<m[i][j]){
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
所以我们需要把这两部分代码结合起来使用：
那么对于m[1][4]我们是枚举了所有加括号的可能情况，并存储了其中最小的一个，获得了最优值；
那么对于m[2][5]、m[3][6]也能得到最优值；并且没有做任何重复计算；
当r=5时，m[1][5]、m[2][6]也能得到最优值；
当r=6时，m]1][6]也能得到最优值；如此就得到了原问题的最优解；
每一次得到更小值的时候，s[i][j]=k，记录（更新）这个断点情况；最后可以用来帮助构造最优解的加括号形式；
6 以下给出完整源代码：
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3
4 //矩阵连乘：完全加括号问题
5 //A1(p1*p2)，A2(p2*p3)，两个矩阵相乘，总乘法次数为p1*p2*p3，其中p2表示结果的每个元素所需要的乘法次数
6 //m[i][j]表示，第i个矩阵到第j个矩阵的连乘，所需要的乘法次数
7 //对于多个矩阵连乘，可以得出以下递推式
8 //m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]
9 //问题是如何找到这个k，使乘法次数最少
10 int m[7][7]={0}; //m[i][j]用于存储，第i个矩阵连乘到第j个矩阵的乘法次数，那么m[1][n]为最终结果
11 int s[7][7]={0}; //s[i][j]用于存储，矩阵i和矩阵j之间所取的断点，k值，用于构造结果的加括号情况
12
13 void MatrixChain(int n,int p[]){
14 for(int i=1;i<=n;i++) m[i][i]=0; //单个矩阵乘法次数为0
15
16 //采用自底向上的方式实现递推式
17 for(int r=2;r<=n;r++){ //表示r个矩阵的连乘
18 for(int i=1;i<=n-r+1;i++){ //从第i个矩阵开始，作为连乘的起点，有r个矩阵连乘，所以要<=n-r+1
19 int j=i+r-1; //j-i=r-1，表示j是r个矩阵连乘中的终点
20 m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
21 //相当于m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]，显然m[i][i]=0
22 //即表示Ai……Aj=Ai(Ai+1……Aj)，从最后一个开始加括号
23 s[i][j]=i;
24
25 for(int k=i+1;k<j;k++){
26 int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]; //在i~j中寻找k
27 if(t<m[i][j]){
28 m[i][j]=t; //记录t历史上的最小值，最终结果即为连乘中的最优值
29 s[i][j]=k; //记录断点k值
30 }
31 }
32
33 }
34 }
35 }
36
37 //利用s[i][j]进行构造连乘的加括号情况
38 void TraceBack(int i,int j){
39 if(i==j) return;
40 TraceBack(i,s[i][j]); //以s[i][j]记录的k为分界点，找左边，i~k
41 TraceBack(s[i][j]+1,j); //找右边，k+1~j
42 cout<<"Matrix A"<<i<<","<<s[i][j];
43 cout<<" and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
44 }
45
46 int main(){
47 int arr[7]={30,35,15,5,10,20,25};
48 int n=6;
49 MatrixChain(n,arr);
50 TraceBack(1,n);
51 cout<<m[1][n]<<endl;
52 system("pause");
53 return 0;
54 }
哇本渣终于弄清楚矩阵连乘了！！
标签：连乘,int,矩阵,次数,算法,最优,乘法 来源： https://www.cnblogs.com/halunann/p/12820411.html