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【离散数学中的数据结构与算法】十 汉诺塔

作者:互联网

汉诺塔也是经典的算法问题

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1 汉诺塔问题

法国数学家卢卡斯(Edouard Lucas)在1883年提出了一个数学游戏:

在这里插入图片描述

考虑该问题的一般形式:有 n 个圆盘,最初自下而上、自大而小地穿在A柱上, 每次按规则(上述)移动一个圆盘,最终将所有圆盘移动到C柱上。

假如现在有如下图的盘子:

在这里插入图片描述

则一共需要移动7次。自己手动画画就知道了。

那么现在盘子有n个,如下图:

在这里插入图片描述
该如何移动?实际上这是递归的问题(递归在后面的学习中会学到)

用 T(n) 表示移动 n 个圆盘所需要的步数

根据算法

  1. 先把前面 n-1 个盘子转移到B上;
  2. 然后把第 n 个盘子转到C上(n这个盘子移动了一次);
  3. 最后再次将B上的 n-1 个盘子转移到C上(这n-1个盘子移动了两次)

这个公式,足以使用递归的形式写出代码。下面还可以直接求出具体的值:

使用倒推法求解T(n)=2T(n-1)+1, T(1)=1:

在这里插入图片描述

回到最初的汉诺塔问题, 要将64片金盘重新摆放在另一根柱子上, 最少需要 264-1 步, 即使僧侣每秒钟移动一步而且每次移动都是正确的方法, 那么也需要 5.8*1011 年, 即5千多亿年!

标签:问题,柱上,圆盘,移动,离散数学,汉诺塔,盘子,数据结构
来源: https://blog.csdn.net/qq_37375427/article/details/88752818