扩展欧几里得算法简单推导

给定a，b，扩展欧几里得算法求得最大公约数的同时，还会给出ax+by=gcd(a,b)的整数解x，y

假设

\[d_{i-2}=d_{i-1} c_i+d_i \\ d_{i-1}=d_ic_{i+1}+d_{i+1} \]

假设a，b的最大公约数为\(g\)，当某一步的\(d_{i-1}=0\)时，\(1*d_{i-2}+0*d_{i-1}=g=d_{i-2}\) （递归的终点），对任意步骤，如下更新x和y，

\[xd_{i-1}+yd_i=g \\ xd_{i-1}+y(d_{i-2}-d_{i-1}c_i)=g \\ yd_{i-2}+(x-c_i y)d_{i-1}=g \\ yd_{i-2}+(x-\frac{d_{i-2}}{d_{i-1}} y)d_{i-1}=g \]

所以

\[x'=y \\ y'=x-\frac{d_{i-2}}{d_{i-1}}y \]

标签：frac,推导,欧几里得,yd,xd,算法,最大公约数
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