【Coel.做题笔记】【旁观者…】二次剩余- Cipolla 算法

题前闲语

这周末就是省选了，甚至考场就在这个机房，可惜我并没有参加的机会。
唉，今年得好好努力了！

题目简介

给出 \(N,p\)，求解方程

\[x^2 \equiv N(\bmod ~p) \]

多组数据。

保证 \(p\) 是奇素数。

输入输出格式

输入格式

第一行一个整数 $T$ 表示数据组数。

接下来 \(T\) 行，每行两个整数，分别是 \(N\) 和 \(p\) 。

输出格式

输出共 $T$ 行。

对于每一行输出：

若有解，则按 \(\bmod ~p\) 后递增的顺序输出在 \(\bmod~ p\) 意义下的全部解。

若两解相同，只输出其中一个。

若无解，则输出 Hola! 。

前置知识

之前学习了很多模意义下的操作，比如说离散对数（\(BSGS\)），同余方程（扩展欧几里得），同余方程组（中国剩余定理）等等。接下来看看模意义下的开方运算：二次剩余。
什么是二次剩余？
当关于 \(x\) 的同余方程

\[x^2\equiv n\ (\bmod\ p) \]

存在解时，则称 \(x\) 为模 \(p\) 意义下的二次剩余；反之则称为非二次剩余。
以下是几个二次剩余里用到的定理与符号：

勒让德符号

这是一个关于二次剩余的符号（以下的方程特指上文提到的同余方程）。

\[\left(\frac{n}{p} \right)=\begin{cases} 1,\text{同余方程有解}\\-1,\text{同余方程无解} \\ 0 ,n\equiv 0 \pmod p\end{cases} \]

欧拉判别准则

欧拉：没想到吧又是我！

\[\left(\frac{n}{p}\right)\equiv n^{\frac{p-1}{2}}\ \pmod p \]

证明略过不提其实是懒得写。
这样我们就可以用快速幂计算出勒让德符号，进而判定二次剩余是否存在了。

二次剩余的个数

在模意义之下的二次剩余数与非二次剩余数相等，即为 \(\frac{p-1}{2}\)。
比较专业的证明需要用到拉格朗日定理，这里采用一种更为简单的证明方式。

假设原方程在模意义下的两个不同解分别为 \(x_1\) 和 \(x_2\) ，由平方差公式可以知道 \(p|(x_1+x_2)(x_1-x_2)\)。
当 \(p\) 为奇素数时，会有\((x_1-x_2) \bmod p \ne 0\)，那么\((x_1+x_2) \bmod p = 0\)，也就是说 \(x_1,x_2\)互为相反数，故共有 \(\frac{p-1}{2}\) 个二次剩余。
与此同时我们也可以知道，对于每个二次剩余而言，它对应的解的个数恰好为两个。

Cipolla 算法

讲了这么多，终于到算法核心内容了。
首先我们用 rand() 求出一个 \(a\) 使得 \(a^2-n\) 为非二次剩余。由上面二次剩余个数可以知道，这个过程的期望复杂度为 \(O(2)\)。
接下来在模意义下暴力开根。定义 \(\omega ^2 \equiv a^2-n\), 类似虚数的操作，我们可以用 \(a+\omega b\) 表示这个模意义下的所有数。
此时原方程的解便是\((a+\omega)^{\frac{p-1}{2}}\) 我们来证明一下。
在模意义，解可以表示为\(x \equiv (a+\omega)^{\frac{p-1}{2}}\)。
暴力推柿子时间！
当然在推柿子之前还得来个引理：为什么不在前面全部说完
Lemma： \((a+b)^p \equiv a^p +b^p\)。用二项式定理展开以后，系数不为 \(1\) 的所有部分都会被模 \(p\) 消去，得证。
最后利用这两个引理推柿子：
\(x^2 \equiv (a+\omega)^{p-1}\)
\(\equiv (a+\omega)^p(a+\omega)\)
\(\equiv (a-\omega)(a+\omega)\) （运用Lemma）
\(\equiv a^2 - \omega ^2\)
\(\equiv a^2 - (a^2 - n)\) （运用定义）
\(\equiv n\).

标签：剩余,frac,二次,Coel,同余,做题,Cipolla,omega,equiv
来源： https://www.cnblogs.com/Coel-Flannette/p/16146160.html