【数据结构与算法】之深入解析“不同路径II”的求解思路与算法示例

一、题目要求

• 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ），机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。现在考虑网格中有障碍物，那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
• 网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
• 示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

• 示例 2：
  

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

• 提示：
• • m == obstacleGrid.length；
• • n == obstacleGrid[i].length；
• • 1 <= m, n <= 100；
• • obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1。

二、求解算法

① 递归

• 如果是没有障碍物的话，从 (0,0) 出发，每次只能往下走、或者往右走。假设 i 表示行、j 表示列，当前点为 (i,j)，那么每次只能往 (i + 1, j) 移动、或者往 (i, j + 1) 移动，递归方向：
• • 往右：i 不动，j+1；
• • 往下：j+1，i 不动；
• 对于有障碍物的情况下怎么办呢？其实也简单，直接返回 0 就可以了，这表能走到障碍物的路径总和为 0：

• 有了上述条件，递归就很容易了，每次往右、或者往下走，到达边界条件返回 0，到达终点返回 1，如下所示，橙色的 (2,2) 这个点，表示从这里发出到达终点有多少路径：

• 同理，(0,0) 就是从起点出发，走到终点有多少路径，也就是题目的要求。
• Java 示例：

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        return dfs(new HashMap<Pair,Integer>(), obstacleGrid, 0, 0);
    }

    private int dfs(Map<Pair,Integer> cache, int[][] arr, int i, int j) {
        Pair p = new Pair(i,j);
        if(cache.containsKey(p)) {
            return cache.get(p);
        }
        // 边界/障碍物检查
        if(i >= arr.length || j >= arr[0].length || arr[i][j] == 1) {
            return 0;
        }
        // 达到终点
        if(i == arr.length - 1 && j == arr[0].length - 1) {
            return 1;
        }
        // 继续往右(i,j+1)、往下(i+1,j)递归调用
        int res = dfs(cache, arr, i + 1, j) + dfs(cache, arr, i, j + 1);
        cache.put(p, res);
        return res;
    }
}

② 动态规划 1

• 对于动态规划，反过来想，如何到达下图中橙色的 (2,2) 这个点呢？只能从上方和左方到达 (2,2) 这个点，到达障碍物 (3,2) 这个点的路径总和为 0：

• 只能由两个方向而来，上方、或者是左方；对于 (3,2) 障碍物这个点来说，能到达这里的路径就是 0，因此对于 (i,j) 这个点来说，其动态规划转移方程就是：

if 当前点不是障碍物：
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
else:
    dp[i][j] = 0

• 还需要处理下边界情况，也就是第一列、第一行时，如下图，只要第一列中的某个格子是障碍物，那么这个格子跟后面的都无法到达：

• 同理，第一行中如果有格子是障碍物，那么这个格子跟后面的都无法到达。
• Java 示例：

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int n = obstacleGrid.length;
        int m = obstacleGrid[0].length;
        int[][] dp = new int[n][m];
        // (0,0)这个格子可能有障碍物
        dp[0][0] = (obstacleGrid[0][0] == 1) ? 0 : 1;
        // 处理第一列
        for(int i = 1; i < n; ++i) {
            if(obstacleGrid[i][0] == 1 || dp[i - 1][0] == 0) {
                dp[i][0] = 0;
            } else {
                dp[i][0] = 1;
            }
        }
        // 处理第一行
        for(int j = 1; j < m; ++j) {
            if(obstacleGrid[0][j] == 1 || dp[0][j - 1] == 0) {
                dp[0][j] = 0;
            } else {
                dp[0][j] = 1;
            }
        }
        for(int i = 1; i < n; ++i) {
            for(int j = 1; j < m; ++j) {
                 // 如果当前格子是障碍物
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) {
                    dp[i][j] = 0;
                // 路径总数来自于上方(dp[i-1][j])和左方(dp[i][j-1])    
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }
}

③ 动态规划 2

• 跟动态规划 1 解法正好是反过来的，动态规划 1 解法中，是从 (0,0) 走到 (n-1,m-1)，动态规划 2 中，是从 (n-1,m-1) 走到 (0,0)。因此反过来推导，对于 (2,2) 这个点，只能从下方、右方转移过来：

• 同样，反着推的时候也需要处理下边界问题，也就是最后一行，最后一列需要单独处理一下。这里的思路跟前一种解法是一样的，只是倒退来的：

• Java 示例：

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int n = obstacleGrid.length;
        int m = obstacleGrid[0].length;
        int[][] dp = new int[n][m];
        // 判断终点是否有障碍物
        dp[n - 1][m - 1] = (obstacleGrid[n - 1][m - 1] == 1) ? 0 : 1;
        // 处理最后一列
        for(int i = n -2; i >=0; --i) {
            if(obstacleGrid[i][m - 1] == 1 || dp[i + 1][m - 1] == 0) {
                dp[i][m - 1] = 0;
            } else {
                dp[i][m - 1] = 1;
            }
        }
        // 处理最后一行
        for(int j = m - 2; j >=0; --j) {
            if(obstacleGrid[n - 1][j] == 1 || dp[n - 1][j + 1] == 0) {
                dp[n - 1][j] = 0;
            } else {
                dp[n - 1][j] = 1;
            }
        }
        for(int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            for(int j = m - 2; j >= 0; --j) {
                // 如果当前格子是障碍物
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) {
                    dp[i][j] = 0;
                // 路径总数来自于下方(dp[i+1][j])和右方(dp[i][j+1])     
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j + 1];
                }
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

④ 动态规划+空间优化

• 对于动态规划的两种解法，都是只需要上一层的解，而不需要上上一层的：

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

• 也就是求第 i 行时，只需要 i-1 行已求解过的值，不需要 i-2行 ，因此可以用滚动数组进行优化，将二维数组改为一维数组（一维数组的大小为列的长度）。

• 第三次迭代时，求第三个格子 6 时，由于左边的值已经是已知的，第二次迭代时同位置的值也是已知的，因此当前值的计算方式就是：

计算当前值 = 以求出的左边值 + 上一次迭代同位置的值
dp[j] = dp[j - 1] + dp[j]

• Java 示例：

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int n = obstacleGrid.length;
        int m = obstacleGrid[0].length;
        int[] dp = new int[m];
        // 起点可能有障碍物
        dp[0] = (obstacleGrid[0][0] == 1) ? 0 : 1;
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            for(int j = 0; j < m; ++j) {
                // 有障碍物的格子直接赋0
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) {
                    dp[j] = 0;
                }
                // 否则dp[j]的值由左方和上一次迭代的dp[j]累加而来
                else if(obstacleGrid[i][j] == 0 && j - 1 >= 0) {
                    dp[j] = dp[j] + dp[j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m - 1];
    }
}

标签：障碍物,obstacleGrid,return,示例,int,length,II,算法,dp
来源： https://blog.csdn.net/Forever_wj/article/details/122848216